2.2.2. Волновые пакеты

Перейдем к построению нормируемых волновых пакетов. Мы потребуем, чтобы суперпозиция состояла из плоских волн только с положительными энергиями, поскольку на данном этапе лишь эти решения имеют ясный физический смысл Однако мы столкнемся с противоречиями; поэтому нам придется отказаться от этого требования. Предположим, что имеет вид

Коэффициент введен для того, чтобы упростить условие нормировки:

Здесь — лоренц-инвариантная мера.

Вычислим также полный ток

На данном этапе нам понадобится тождество Гордона, которое устанавливает, что для любых двух решений уравнения Дирака с положительной энергией справедливо равенство

Действительно, из уравнения Дирака следует, что

здесь - произвольный -вектор. Равенство (2.54) получается отсюда дифференцированием по Используя это тождество совместно с (2.39), мы можем записать:

Следовательно, в случае суперпозиции решений с положительной энергией полный ток совпадает с групповой скоростью Этог результат аналогичен тому, что наблюдается в теории Шредингера, и он представляется удовлетворительным Однако суперпозиция решершй только с положительной энергией приводит к противоречию

Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим эволюцию во времени волнового пакета, который в момент времени имеет вид гауссова распределения с полушириной

где - некоторый фиксированный спинор, скажем

Соответствующее (нормируемое) решение уравнения Дирака имеет вид

Поскольку фурье-образ распределения Гаусса является опять-таки распределением Гаусса, т. е.

мы можем написать

здесь означает

Из соотношений ортогональности (2.43) следует, что

Используя явные выражения (2.37), можно показать, что отношение имеет порядок и становится существенным, когда . Если волновой пакет распределен по области с характерным размером то вклад импульсов сильно подавлен и компонентами с отрицательной энергией можно пренебречь. Таким образом, одночастичная теория не приводит к противоречиям. Однако, если мы хотим локализовать волновой пакет в области пространства с размерами порядка комптоновской длины волны, т. е. решения с отрицательной энергией начинают играть заметную роль. Эта количественная оценка согласуется с эвристическими рассуждениями, приведенными в начале настоящей главы Запишем, как и выше, условие нормировки в случае волнового пакета, содержащего вклады от состояний с отрицательными энергиями [см. (2.57)]:

    (2.59)

При этом выражение для полного тока имеет вид

Здесь введено обозначение . Ток зависит теперь от времени. Помимо члена, отвечающего групповой скорости, в него входит также вещественный осциллирующий член. Частота этих осцилляций очень высока — она больше, чем

Это явление, по традиции называемое «дрожанием» (zitterbewegung), представляет собой пример тех трудностей, с которыми приходится сталкиваться в рамках одночастичной теории из-за наличия состояний с отрицательной энергией.

Более поразительное явление — это знаменитый парадокс Клейна. Представим Себе идеализированную картину процесса локализации с помощью прямоугольного потенциального барьера высотой V в полупространстве (рис. 2.1).

РИС. 2.1. Парадокс Клейна в случае прямоугольного потенциала.

Рассмотрим в полупространстве падающую вдоль оси плоскую волну с положительной энергией и импульсом

При этом отраженная волна запишется в виде

(суперпозиция решений со спином вверх и со спином вниз и с положительной энергией). В полупространстве , т. е. в поле постоянного потенциала V прошедшая волна имеет аналогичный вид:

где - эффективный импульс:

Используя условие непрерывности решения при , а именно

можно определить коэффициенты

До тех пор пока эффективный импульс q является мнимым и прошедшая волна спадает экспоненциально, и на расстоянии в несколько комптоновских длин ею можно пренебречь. Если мы увеличим V, чтобы ограничить эту область проникновения, то прошедшая волна станет осциллирующей при

Вычисляя отношения прошедшего и отраженного токов к падающему, получаем

На первый взгляд закон сохранения вероятностей выполняется, т. е.

Однако, поскольку отраженный поток оказывается больше падающего.

Таким образом, при попытке локализовать частицу в области с размером порядка комптоновской длины волны, мы снова столкнулись с противоречием.

Несмотря на эти затруднения, уравнение Дирака и его одночастичная интерпретация очень полезны и физически разумны до тех пор, пока мы рассматриваем внешние силы, которые мало меняются на расстояниях порядка нескольких комптоновских длин волны. С его помощью мы найдем первые релятивистские поправки к шредингеровской картине. Изучением этого вопроса мы собираемся заняться в следующих разделах, прежде чем вернуться к более углубленному исследованию смысла состояний с отрицательной энергией. Теперь мы понимаем, что противоречия, которые заставили нас отказаться от уравнения Клейна — Гордона, в действительности не были разрешены. Тем не менее мы продолжим данное обсуждение в рамках теории частиц со спином 1/2 в силу того, что эта теория имеет важные физические применения. Можно было бы таким же образом рассмотреть теорию скалярного поля, которая применима в равной мере. Это еще один пример того, когда важная физическая теория была разработана на основании соображений, которые впоследсшии оказались необоснованными.