3.1.5. Термодинамическое равновесие

В системе покоя, в” которой полный трехмерный импульс равен нулю, может оказаться, что правильное описание рассмотренной выше квантованной системы соответствует не вакуумному состоянию, а термодинамическому равновесию при температуре (-постоянная Больцмана) и химическом потенциале. Это утверждение справедливо, пока число квантов N сохраняется. Рассмотрим вновь квантование в ограниченном объеме с дискретиыми импульсами:

При этом интегралы заменяются на суммы:

Переопределим операторы уничтожения и рождения таким образом,

чтобы выполнялось соотношение

Здесь дельта-функции заменены на символы Кронекера. Следовательно,

Мы предположили для простоты, что система нейтральна. Полная статистическая сумма записывается в виде следа в пространстве Фока:

Каждая мода колебаний дает вклад в виде факторизованного члена, а поскольку мы имеем

В случае большого объема термодинамический потенциал записывается в виде

Из термодинамики известно, что если — давление, то . Следовательно,

Средние значения плотности энергии (без вклада нулевых колебаний) и плотности частиц даются хорошо известными выражениями

соответствующими статистике Бозе. В случае когда и число частиц не сохраняется (т. е. ), ситуация аналогична излучению абсолютно черного тела, если не учитывать поляризацию. При этом среднее значение плотности энергии записывается в виде

Интегрируя по частям, получаем

это есть не что иное, как классическое соотношение, хорошо известное из теории излучения абсолютно черного тела. Из этого соотношения следует, что след усредненного гензора энергии-импульса который имеет лишь диагональные элементы , равен нулю,

Обозначая термодинамические средние круглыми скобками (мы полагаем здесь, что а масса является произвольной), т. е. записывая

рассмотрим распространение сигнала при конечной температуре. Полагая

можно записать следующие соотношения:

В пределе бесконечного объема имеем

и хронологическое произведение принимает вид

Это выражение показывает, что пропагатор при конечной температуре является суммой пропагаюра Фейнмана при нулевой температуре и зависящего от температуры решения однородного уравнения Клейна—Гордона, которое обращается в нуль по закону при . Такой пропагатор позволяет изучать динамические возмущения состояния равновесия.

Структура статистической суммы наводит на мысль, что, применяя теорию возмущений к статистическим системам, можем столкнуться с каким-то иным «евклидовым пропагатором». Исходя из рассмотрения основных динамических полевых переменных при фиксированном времени, определим эволюцию в мнимом времени

где величина вещественна и вначале ее изменение ограничено интервалом в соответствии с формулой

Обозначая упорядочение операторов по символом Т, можно записать следующее уравнение:

Величину можно продолжить как периодическую функцию от с периодом Р. Действительно, предположим сначала, что величина ограничена интервалом . Тогда из циклического свойства следа получаем

Когда такое продолжение выполнено, мы должны понимать, что функция применяется к периодическим функциям (функциям на окружности),

причем Таким образом, можно написать следующие выражения:

В последнем выражении используются обозначения Минковского, причем величина так же, как и является чисто мнимой. Если обозначить символом комбинацию дискретной суммы и интеграла

то выражения (3.96) формально совпадают с обычным пропагатором. Однако следует заметить, что знаменатель

никогда не обращается в нуль. Читатель должен понимать, что выражения (3.95) и (3.96) описывают абсолютно разные величины, относящиеся к не связанным между собой проблемам.