5.1.6. Фермионы

Обобщим предыдущий формализм на случай, когда в начальном или конечном состояниях имеются фермионы со спином 1/2, описываемые интерполирующим спинорным полем Нормировочную

постоянную, относящуюся к этому полю, в электродинамике обозначают таким образом, в смысле слабого предела мы имеем

    (5.53)

Вакуумное среднее антикоммутатора имеет вид

Матрицу спектральной плотности

можно представить в виде комбинации шестнадцати независимых -матриц. Из релятивистской инвариантности следует

Если мы имеем дело с теорией, сохраняющей четность, то, как и в случае электродинамики, существует унитарный оператор такой, что

Отсюда мы получаем условие

и требование того, чтобы члены, содержащие обращались в нуль, т. е. . Следовательно,

Вследствие СРТ-инвариантности существует антиунитарный оператор , оставляющий инвариантным вакуум и действующий на поля следующим образом:

Это позволяет нам связать второй член в антикоммутаторе с первым с помощью соотношения

Таким образом,

Пользуясь тем, что носитель функции сосредоточен на положительной действительной оси, приходим х суперпозиции антикоммутаторов свободного поля:

Для вакуумного среднего антикоммутатора взаимодействующих фермионных полей находим

Здесь подразумевается, что — положительный квадратный корень из . Аналогичная формула с теми же спектральными плотностями справедлива для пропагатора:

Из соотношения следует, что вещественны. Кроме того, поскольку (причем ) пропорциональны соответственно положительным величинам мы имеем следующие условия положительности:

Наконец, можно выделить вклад одночастичных состояний. пользуя инвариантность относительно преобразования четности, приходим к заключению, что носитель отличен от нуля только на континууме состояний, так что вклад в первый член в (5.56) вносит только дискретное одночгстичное состояние, отвечающее Разумеется, это предполагает, что мы можем изолировать одночастичное состояние от континуума, и, строго говоря, не справедливо для частиц нулевой массы, таких, как фотоны. Небольшая Фиктивная масса фотонов будет поэтому устраняться на последней стадии вычислений после того как мы справились с возможными инфракрасными расходимостями. Иными словами, одиночный полюс (заряженной) частицы становится

калибровочно-неинвариантной точкой ветвления, и рассмотрение несколько усложняется

Предполагая поэтому, что содержит член вида и что соответствует порогу континуума состояний, можно записать

Если мы положим левая часть эгого равенства сведется к каноническому антикоммутатору Используя тождества

получаем соотношение

которое в сочетании с условием положительности (5.58) приводит к тому же выводу, что и в скалярном случае, а именно к

Установив это, можно теперь перейти к редукционным формулам, аналогичным тем, которые рассматривались в разд. 5.1.3. Операторы Клейна—Гордона заменяются операторами Дирака. Запишем разложение Фурье свободного поля

где спиноры с фиксированной спиральностью удовлетворяют соотношению . Операторы рождения и уничтожения записываются в виде

    (5.61)

Для одночастичных состояний с данной спиральностью и импульсом имеется неопределенность в знаке. Пренебрегая конечными размерами волновых пакетов в случае электрона, например, в начальном состоянии можно написать [ср. с (5 26)]

Спинор удовлетворяет однородному уравнению Дирака, так что его производная по времени может быть заменена пространственными производными. Интегрирование по частям дает

    (5.62а)

Здесь Несв. чл. обозначает несвязный член Это выражение представляет собой результат редукции одной частицы в начальном состоянии Соответствующие выражения имеются для редукции античастицы в начальном состоянии или для частицы и античастицы в конечном состоянии Эти выражения соответственно имеют вид:

    (5.62б)

Сравнивая выражения (5.62a) и (5.62г), соответствующие электрону, входящему в область взаимодействия, или позитрону, выходящему из него, мы видим, что

эта подстановка рассматривалась нами в случае дырочной теории (см гл. 2) Позитрон в конечном состоянии эквивалентен электрону в начальном состоянии, имеющему противоположный знак энергии и импульса. Это замечание справедливо по отношению к (5.62б) и (5.62в).

Теперь легко продолжить процесс редукции, используя тот же прием, что и прежде, т. е. используя хронологические произведения операторов, но при этом мы должны учесть свойства антикоммутации фермионных полей. С целью упрощения общего выражения не будем обозначать явно зависимость спиноров и операторов от поляризации.

Предположим, что частицы с импульсами и античастицы с импульсами являются входящими, а частицы и античастицы — выходящими. Обозначим сопряженные пространственно-временные переменные соответственно через . Кроме того, обозначим через полное число частиц и античастиц соответственно. Амплитуда рассеяния запишется в виде

Разумеется, (с учетом возможного изменения знака) поля под знаком Т-произведения можно переставлять местами.

Полные функции Грина представляют собой вакуумные средние хронологических произведений полевых операторов. При этом основополагающая гипотеза состоит в том, что каждому сорту частиц соответствует не только асимптотическое свободное поле, но и взаимодействующее (или интерполирующее) поле. Некоторые из этих полей, в случае если имеются связанные состояния, могут быть составными, т. е. выражаться через элементарные лагранжевы переменные. Это не тривиальная ситуация, которая требует тщательного изучения. Такие связанные состояния проявляются в теории как полюсы некоторых функций Грина по соответствующим переменным энергии-импульса.

Мы предлагаем читателю найти связные функции Грина для процессов, включающих фермионные поля, и рассмотреть соответствующие производящие функционалы.