4.3. КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ ДИРАКА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЕ С КЛАССИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

4.3.1. Общий формализм

После того как мы обсудили «алгебраический» аспект задачи, рассмотрим еще один пример применения квадратичного лагранжиана, а именно электрон-позитронное поле в присутствии классического электромагнитного поля В этом внешнем поле возможно рождение электрон-позитронных пар. Это физический эквивалент задачи, обсуждавшейся в разд. 4.1, а ее математическим эквивалентом является рождение и уничтожение отдельных электронов антикоммутирующим источником, который мы определили в разд. 4.2.

Помимо рассмотрения таких интересных явлений, как рождение пар, которое, очевидно, не имеет классического аналога, наше исследование должно показать, какую роль играет уравнение Дирака для квантованного поля

Здесь - данное с-числовое внешнее поле уравнение соответствует лагранжиану взаимодействия

На данном этапе можно повторить все рассуждения, приведенные вразд 4.1.4, на основании которых были получены представление взаимодействия и -матрица. В результате получаем выражение

Однако выражение (4.79) не так просто привести к нормальной форме. Это обусловлено тем, что лагранжиан взаимодействия является квадратичным по полю, а не линейным, и, следовательно, коммутатор двух токов не представляет собой с-число.

Заметим также, что нам неизвестно общее решение уравнения Дирака (4.77) для произвольного поля А

Невзирая на эти трудности, поскольку в нашем распоряжении имеется весь аппарат, следующий из теоремы Вика, мы можем найти формальное решение этой задачи. Рассмотрим подробно амплитуду вероятности процесса, в котором отсутствует рождение пар:

здесь знак опущен. В этом выражении, согласно теореме Вика, каждый член представляет собой сумму произведений спариваний следующего вида:

Для данных определим следующую матрицу

Выразим через С:

Удобно рассмотреть на равных правах дискретные индексы а, и непрерывные переменные и объединить их с помощью скобочного символа Дирака Пространство этих векторов является не чем иным, как пространством классических спиноров Введем Г-матрицу с элементом вида

Используя матричные обозначения, можно написать

Последние выражения в действительности справедливы для любой матрицы

конечной размерности:

как результат применения формулы Кели — Гамильтона для детерминанта.

Разложение здесь заканчивается на порядке для конечной и мерной матрицы Разумеется, член порядка d равен . В этой формуле детерминант выражен через сумму следов атисимчетризованных тензорных произведений. Существует аналогичная формула и для обратного детерминанта

здесь обратный детерминант представлен как сумма следов симметризованных тензорных произведений Последнее выражение целесообразно использовать в задаче квантования бозонных полей, связанных с внешним полем

Эти выражения справедливы и для случая бесконечных матриц в рамках теории Фредгольма при соответствующих предположениях относительно свойств Г-матрицы. Обозначение начинается с прописной, со строчной буквы, поскольку такие операции предполагают интегрирование по непрерывным переменным Использование нормальных произведений в (4 78) было бы равносильно допущению, что , а следовательно, что член в (4 85) можно опустить

Как и в последнем разделе гл. 2, удобно ввести операторы и определенные на состояниях

Они подчиняются каноническому коммутационному соотношению

а собственные векторы обозначенные как таковы, что

Используя эти матричные обозначения, наряду с выражением (3 174) для пропагатора Дирака, находим

В последнее выражение входит пропагатор Фейнмана в присутствии внешнего поля

В качестве упражнения проверим калибровочную инвариантность полученных выражений При калибровочном преобразовании

Из соотношений (4.87) следует:

Таким образом, калибровочное преобразование равносильно унитарному преобразованию в пространстве классические спиноров Это не влияет на детерминанты и сохраняет инвариантной величину

Рассмотрим следствия унитарности -матрицы Удобно ввести одночастичный оператор рассеяния , который определяется следующим образом:

Предположим, что потенциал вещественный; для любого оператора В на пространстве векторов положим

где эрмитово сопряжение действует на индексы а и х. Эта операция меняет знак величины

Таким образом,

Подстановка этого выражения в (4.89) дает

В результате имеем

Оператор можно разложить на сумму проекторов на состояния с положительной и отрицательной энергией:

Эти операторы, проектирующие на массовую поверхность, появятся, естественно, при вычислении таких физических величин, как

Если мы обратимся к первоначальному выражению (4.82) для , то каждый член правой части можно представить в виде произведения величин, в которых аргументы являются циклическими перестановками:

Если бы вместо фейнмановского пропагатора мы воспользовались здесь запаздывающим пропагатором, то все эти циклические множители сократились бы, поскольку запаздывающая функция Грина имеет носитель внутри конуса будущего и, следовательно, циклический член определен на пустом множестве. Как отмечалось в гл. 2, запаздывающий пропагатор имеет вид

где — бесконечно малый положительный времениподобный четырехмерный вектор Отсюда следует, что

Но

где РР означает главную часть. Следовательно,

и

Из этих выражений и (4.91) мы находим

Запишем следующее равенство:

в котором,

(здесь знак следа относится лишь к индексам Дирака). Функцию можно интерпретировать как плотность вероятности образования пар Если разбить четырехмерное пространство на небольшие ячейки объемом и со средней координатой то можно записать приближенное выражение

которое подтверждает данную выше интерпретацию величины Каждая ячейка вносит независимый вклад в полную вероятность испускания пар Это следует также из явного вычисления вероятностей испускания одной, двух и т. д. пар Благодаря присутствию проекторов вероятность выражается через

матричные элементы оператора на массовой поверхности между состояниями частицы и дырки Это можно пояснить, если определить приведенный оператор t следующим образом Используя нормированные решения для положительной и отрицательной энергий, введенные в гл. 2, определим матрицу t на массовой поверхности в виде

где . С помощью выражений для проекторов

получаем

Отсюда с определенностью следует, что величина положительна Вычислим теперь в явном виде эту вероятность для двух частных случаев