Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.3. КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ ДИРАКА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЕ С КЛАССИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ4.3.1. Общий формализмПосле того как мы обсудили «алгебраический» аспект задачи, рассмотрим еще один пример применения квадратичного лагранжиана, а именно электрон-позитронное поле в присутствии классического электромагнитного поля В этом внешнем поле возможно рождение электрон-позитронных пар. Это физический эквивалент задачи, обсуждавшейся в разд. 4.1, а ее математическим эквивалентом является рождение и уничтожение отдельных электронов антикоммутирующим источником, который мы определили в разд. 4.2. Помимо рассмотрения таких интересных явлений, как рождение пар, которое, очевидно, не имеет классического аналога, наше исследование должно показать, какую роль играет уравнение Дирака для квантованного поля
Здесь
На данном этапе можно повторить все рассуждения, приведенные вразд 4.1.4, на основании которых были получены представление взаимодействия и
Однако выражение (4.79) не так просто привести к нормальной форме. Это обусловлено тем, что лагранжиан взаимодействия является квадратичным по полю, а не линейным, и, следовательно, коммутатор двух токов не представляет собой с-число. Заметим также, что нам неизвестно общее решение уравнения Дирака (4.77) для произвольного поля А Невзирая на эти трудности, поскольку в нашем распоряжении имеется весь аппарат, следующий из теоремы Вика, мы можем найти формальное решение этой задачи. Рассмотрим подробно амплитуду вероятности процесса, в котором отсутствует рождение пар:
здесь знак
Для данных
Выразим
Удобно рассмотреть на равных правах дискретные индексы а, и непрерывные переменные
Используя матричные обозначения, можно написать
Последние выражения в действительности справедливы для любой матрицы конечной размерности:
как результат применения формулы Кели — Гамильтона для детерминанта. Разложение здесь заканчивается на
здесь обратный детерминант представлен как сумма следов симметризованных тензорных произведений Последнее выражение целесообразно использовать в задаче квантования бозонных полей, связанных с внешним полем Эти выражения справедливы и для случая бесконечных матриц в рамках теории Фредгольма при соответствующих предположениях относительно свойств Г-матрицы. Обозначение Как и в последнем разделе гл. 2, удобно ввести операторы и определенные на состояниях
Они подчиняются каноническому коммутационному соотношению
а собственные векторы
Используя эти матричные обозначения, наряду с выражением (3 174) для пропагатора Дирака, находим
В последнее выражение входит пропагатор Фейнмана в присутствии внешнего поля В качестве упражнения проверим калибровочную инвариантность полученных выражений При калибровочном преобразовании
Из соотношений (4.87) следует:
Таким образом, калибровочное преобразование равносильно унитарному преобразованию в пространстве классические спиноров Это не влияет на детерминанты и сохраняет инвариантной величину Рассмотрим следствия унитарности
Предположим, что потенциал
где эрмитово сопряжение действует на индексы а и х. Эта операция меняет знак величины
Таким образом,
Подстановка этого выражения в (4.89) дает
В результате имеем
Оператор
Эти операторы, проектирующие на массовую поверхность, появятся, естественно, при вычислении таких физических величин, как Если мы обратимся к первоначальному выражению (4.82) для
Если бы вместо фейнмановского пропагатора мы воспользовались здесь запаздывающим пропагатором, то все эти циклические множители сократились бы, поскольку запаздывающая функция Грина имеет носитель внутри конуса будущего и, следовательно, циклический член определен на пустом множестве. Как отмечалось в гл. 2, запаздывающий пропагатор имеет вид
где
Но
где РР означает главную часть. Следовательно,
и
Из этих выражений и (4.91) мы находим
Запишем следующее равенство:
в котором,
(здесь знак следа относится лишь к индексам Дирака). Функцию
которое подтверждает данную выше интерпретацию величины матричные элементы оператора
где
получаем
Отсюда с определенностью следует, что величина
|
1 |
Оглавление
|