Главная > Квантовая теория поля, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.3. КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ ДИРАКА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЕ С КЛАССИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

4.3.1. Общий формализм

После того как мы обсудили «алгебраический» аспект задачи, рассмотрим еще один пример применения квадратичного лагранжиана, а именно электрон-позитронное поле в присутствии классического электромагнитного поля В этом внешнем поле возможно рождение электрон-позитронных пар. Это физический эквивалент задачи, обсуждавшейся в разд. 4.1, а ее математическим эквивалентом является рождение и уничтожение отдельных электронов антикоммутирующим источником, который мы определили в разд. 4.2.

Помимо рассмотрения таких интересных явлений, как рождение пар, которое, очевидно, не имеет классического аналога, наше исследование должно показать, какую роль играет уравнение Дирака для квантованного поля

Здесь - данное с-числовое внешнее поле уравнение соответствует лагранжиану взаимодействия

На данном этапе можно повторить все рассуждения, приведенные вразд 4.1.4, на основании которых были получены представление взаимодействия и -матрица. В результате получаем выражение

Однако выражение (4.79) не так просто привести к нормальной форме. Это обусловлено тем, что лагранжиан взаимодействия является квадратичным по полю, а не линейным, и, следовательно, коммутатор двух токов не представляет собой с-число.

Заметим также, что нам неизвестно общее решение уравнения Дирака (4.77) для произвольного поля А

Невзирая на эти трудности, поскольку в нашем распоряжении имеется весь аппарат, следующий из теоремы Вика, мы можем найти формальное решение этой задачи. Рассмотрим подробно амплитуду вероятности процесса, в котором отсутствует рождение пар:

здесь знак опущен. В этом выражении, согласно теореме Вика, каждый член представляет собой сумму произведений спариваний следующего вида:

Для данных определим следующую матрицу

Выразим через С:

Удобно рассмотреть на равных правах дискретные индексы а, и непрерывные переменные и объединить их с помощью скобочного символа Дирака Пространство этих векторов является не чем иным, как пространством классических спиноров Введем Г-матрицу с элементом вида

Используя матричные обозначения, можно написать

Последние выражения в действительности справедливы для любой матрицы

конечной размерности:

как результат применения формулы Кели — Гамильтона для детерминанта.

Разложение здесь заканчивается на порядке для конечной и мерной матрицы Разумеется, член порядка d равен . В этой формуле детерминант выражен через сумму следов атисимчетризованных тензорных произведений. Существует аналогичная формула и для обратного детерминанта

здесь обратный детерминант представлен как сумма следов симметризованных тензорных произведений Последнее выражение целесообразно использовать в задаче квантования бозонных полей, связанных с внешним полем

Эти выражения справедливы и для случая бесконечных матриц в рамках теории Фредгольма при соответствующих предположениях относительно свойств Г-матрицы. Обозначение начинается с прописной, со строчной буквы, поскольку такие операции предполагают интегрирование по непрерывным переменным Использование нормальных произведений в (4 78) было бы равносильно допущению, что , а следовательно, что член в (4 85) можно опустить

Как и в последнем разделе гл. 2, удобно ввести операторы и определенные на состояниях

Они подчиняются каноническому коммутационному соотношению

а собственные векторы обозначенные как таковы, что

Используя эти матричные обозначения, наряду с выражением (3 174) для пропагатора Дирака, находим

В последнее выражение входит пропагатор Фейнмана в присутствии внешнего поля

В качестве упражнения проверим калибровочную инвариантность полученных выражений При калибровочном преобразовании

Из соотношений (4.87) следует:

Таким образом, калибровочное преобразование равносильно унитарному преобразованию в пространстве классические спиноров Это не влияет на детерминанты и сохраняет инвариантной величину

Рассмотрим следствия унитарности -матрицы Удобно ввести одночастичный оператор рассеяния , который определяется следующим образом:

Предположим, что потенциал вещественный; для любого оператора В на пространстве векторов положим

где эрмитово сопряжение действует на индексы а и х. Эта операция меняет знак величины

Таким образом,

Подстановка этого выражения в (4.89) дает

В результате имеем

Оператор можно разложить на сумму проекторов на состояния с положительной и отрицательной энергией:

Эти операторы, проектирующие на массовую поверхность, появятся, естественно, при вычислении таких физических величин, как

Если мы обратимся к первоначальному выражению (4.82) для , то каждый член правой части можно представить в виде произведения величин, в которых аргументы являются циклическими перестановками:

Если бы вместо фейнмановского пропагатора мы воспользовались здесь запаздывающим пропагатором, то все эти циклические множители сократились бы, поскольку запаздывающая функция Грина имеет носитель внутри конуса будущего и, следовательно, циклический член определен на пустом множестве. Как отмечалось в гл. 2, запаздывающий пропагатор имеет вид

где — бесконечно малый положительный времениподобный четырехмерный вектор Отсюда следует, что

Но

где РР означает главную часть. Следовательно,

и

Из этих выражений и (4.91) мы находим

Запишем следующее равенство:

в котором,

(здесь знак следа относится лишь к индексам Дирака). Функцию можно интерпретировать как плотность вероятности образования пар Если разбить четырехмерное пространство на небольшие ячейки объемом и со средней координатой то можно записать приближенное выражение

которое подтверждает данную выше интерпретацию величины Каждая ячейка вносит независимый вклад в полную вероятность испускания пар Это следует также из явного вычисления вероятностей испускания одной, двух и т. д. пар Благодаря присутствию проекторов вероятность выражается через

матричные элементы оператора на массовой поверхности между состояниями частицы и дырки Это можно пояснить, если определить приведенный оператор t следующим образом Используя нормированные решения для положительной и отрицательной энергий, введенные в гл. 2, определим матрицу t на массовой поверхности в виде

где . С помощью выражений для проекторов

получаем

Отсюда с определенностью следует, что величина положительна Вычислим теперь в явном виде эту вероятность для двух частных случаев

1
Оглавление
email@scask.ru