4.2. ТЕОРЕМА ВИКА

Данный раздел посвящен алгебраическим правилам, которые позволяют преобразовать Т-произведение операторов, например операторов в представлении взаимодействия, к нормальной форме, более удобной для вычисления матричных элементов в пространстве Фока В дальнейшем любые поля будем считать свободными.

4.2.1. Бозонные поля

Выше мы получили следующее тождество для свободного безмассового векторного поля:

    (4-64)

Данный результат не связан ни с векторным характером поля, ни с равенством нулю его массы. Та же формула справедлива для любого бозонного поля. Следовательно, нам все равно, имеем ли мы дело со скалярным, векторным, тензорным или каким-то другим полем, поэтому мы не будем здесь и далее писать лоренцевы индексы. Выражение (4 64) можно рассматривать как производящую функцию для системы тождеств, известных как теорема Вика Разложим экспоненты и определим коэффициент при симметризованный по (последнее возможно, поскольку это произведение и коэффициент перед ним стоят под

знаком интеграла по . Мы получаем

В этих формулах знак — сверху указывает на то, что отмеченный им оператор должен быть изъят из произведения, а берется по всем перестановкам, что приводит к различным выражениям. Иными словами, в соотношении (4.65) Т-произведение записано через сумму всех возможных нормальных произведений, в которых некоторые пары полей исключены и заменены их спариваниями, т. е. вакуумными средними их Т-произведений.

Доказательство тождеств (4.65) представляет собой хорошее упражнение Наиболее просто его можно провести методом индукции. Мы предоставляем читателю также убедиться в том, что тождества (4.65) можно обобщить на Т-произведения полей различной природы . Их можно распространить на выражения следующего вида:

однако с тем ограничением, что спаривания здесь возникают только между различными нормальными произведениями. Тождества подобные (4.65), можно применить для записи обычного произведения в виде нормальных произведений. В последнем случае единственное отличие состоит в том, что теперь спаривания представляют собой вакуумные средние обычных произведений операторов

В заключение заметим, что аналогичные тождества связывают Т-произведения с обычными произведениями. В этом случае спаривание означает запаздывающую функцию Грина; например,

Из выражения (4.65) следует, что

Симметричную форму правой части Кайянелло назвал «гафнианом». С помощью (4.66) выражение (4.65) можно переписать в более слабой форме