7.2.2. Радиационные поправки к кулоновскому рассеянию

В качестве примера изучим кулоновское рассеяние на ядре с таким Z, что величину можно считать малым параметром Атомными поправками (эффектом экранирования в первом приближении) мы пренебрежем Используя выражение (7 75) для эффективного взаимодействия, вычислим все поправки с точностью до к сечению рассеяния Мотта неполяризованных электронов [см выражение (2 130)] Если Е — энергия, — величина 3-импульса, а -скорость электрона, то сечение рассеяния на угол записывается в виде

Поскольку первая поправка будет иметь порядок в нее необходимо включить второе борновское приближение, интерференция которого с главным членом будет давать вклад порядка При условии что величина Z достаточно мала, этот вклад соизмерим с эффектом перенормировки вершины и поляризации вакуума Одна из причин, побуждающих предпринимать столь подробные вычисления, состоит в том, что они позволяют нам изучить другие аспекты инфракрасных особенностей, связанные с дальнодействующим характером кулоновских сил Последний приводит к бесконечным фазам рассеяния Чтобы предотвратить это, можно ввести фактор экранирования, который в последовательной теории должен быть связан с фиктивной массой фотона Для того чтобы показать, что в сечении рассеяния такая инфракрасная расходимость сокращается, введем независимую длину экранирования а и отдельно изучим предел На рис. 7 14 приведены диаграммы, дающие вклад в амплитуду рассеяния в случае, когда внешний потенциал описывает экранированное кулоновское взаимодействие

Первые три диаграммы (будем отмечать их индексами 1, 2 и 3)

на рис. 7.14 дают вклад

причем Четвертая диаграмма на рис. 7.14 добавляет величину

Из-за кинематических связей имеем Положим

При этом записывается в виде

Разумеется, нас интересуют интегралы лишь в пределе малых значений . Тождество Фейнмана

позволяет записать

где Аналогично

Промежуточное интегрирование легко выполнить, и мы получаем

где при определении ветви логарифма выбирается соответствующий разрез. Окончательные выражения для при имеют вид

Подставляя эти выражения в формулу (7.81), получаем последний из матричных элементов. Таким образом, сечение рассеяния неполяризованных частиц дается выражением

где Т — коэффициент, стоящий при в сумме

Чтобы быть последовательными, в выражении (7 84) оставим лишь члены вплоть до порядка Следует заметить, что комплексными величинами являются только Суммирование по поляризациям дает

Зависимость от фактора , которую вносили мнимые части величин А и С, исчезла, как и ожидалось; в результате сечение упругого рассеяния, включающее первые нетривиальные радиационные поправки, записывается теперь следующим образом:

Напомним, что здесь Е и — энергия и импульс электрона, — его скорость, — угол рассеяния,

В выражении (7.86) сохранилась истинная инфракрасная расходимость. Чтобы получить разумный результат, нам необходимо добавить к найденному выше сечению сечение испускания мягких фотонов.