5.1.3. Редукционные формулы

Мы используем здесь асимптотические условия (5.14 а, б), чтобы связать элементы -матрицы с полными функциями Грина взаимодействующих полей. Рассмотрим амплитуду перехода где для простоты мы опустили сглаживающие функции, необходимые для нормировки. Мы будем редуцировать этот элемент, извлекая один за другим или out-операторы рождения, с помощью которых мы строим начальное или конечное состояние. Согласно определению, мы имеем

Здесь интеграл берется для произвольного момента времени t. Поэтому можно выбрать большое отрицательное значение t, что позволит нам заменить на

Для произвольного интеграла справедливо следующее соотношение:

Используя асимптотическое условие для случая произвольно большого положительного значения времени, находим

где интегрирование проводится по всему пространству-времени. В правой части этого выражения первый член представляет собой сумму несвязных членов (соответствующих случаям, когда по крайней мере одна частица не участвует в процессе столкновения):

Мы предположили, что все частицы здесь одного типа. Изменения, которые следует внести, когда это не так, очевидны. Заметим также, что несвязные члены исчезают, когда ни один из начальных импульсов не совпадает с конечным.

Изучим теперь более внимательно второй член в правой части выражения (5.25). Поскольку мы рассматриваем его как ядро, сглаженное волновыми пакетами, интегрирование по частям для пространственных переменных законно. Разумеется, это неверно в случае интегрирования по временной переменной, поскольку любые вычисления тогда привели бы к нулевым результатам. Учитывая сказанное, обозначая массу частиц и вспоминая, что получаем

Первый шаг редукции принимает следующий вид:

Эти шаги можно повторять. Для определенности мы совершим это для частиц в конечном состоянии Что касается несвязных членов, они не вносят ничего нового, и мы не будем их выписывать Для второго же члена можно написать

Здесь нам хотелось бы заменить последний интеграл на четырехмерный, как мы делали выше Ясно, что необходимо применить какой-то прием, чтобы оператор связанный с нижним пределом интегрирования, действовал нетосредственно на состояние . Хронологическое упорядочение полей

располагает операторы подходящим образом на обоих пределах. Следовательно, не изменяя предыдущее выражение, в него можно подставить символ Т-произведения и действовать далее как в первом шаге Таким образом мы получаем

Здесь в правой части первое слагаемое соответствует несвязным членам.

Итак, когда редуцированы две частицы, мы имеем

Несвязные члены, получавшиеся до сих пор, содержали одну или две -функции Проводя аналогичные рассуждения до тех пор, пока не будут редуцированы все входящие и выходящие частицы, мы получим

Замечательное свойство этих выражений, полученных Леманом, Симанзиком и Циммерманом, — это связь, которую они устанавливают между амплитудами переходов на массовой поверхности и полными функциями Грина теории, включающей взаимодействие. Последние представляют собой вакуумные средние хронологических произведений операторов поля Соотношение (5 28) означает, что в импульсном пространстве функции Грина имеют полюсы по переменным где сопряжены с . С точностью до нормировочной постоянной элемент -матрицы является вычетом в этих полюсах Отметим также замечательное свойство симметрии между входящими и выходящими импульсами Улобно заменить совокупность выходящих импульсов на совокупность входящих с отрицательными энергетическими компонентами Поэтому, все импульсы можно рассматривать одинаковым образом.