Глава 3. КВАНТОВАНИЕ; СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ

В настоящей главе мы изучим каноническое квантование свободных полей. Исходя из аналогии с механической системой последовательно рассматриваются нейтральные и заряженные скалярные поля При квантовании электромагнитного поля мы применим индефинитную метрику Гупты—Блейлера, причем особое внимание будет уделено калибровочной инвариантности и проблемам, возникающим в связи с равенством нулю массы фотона. Будет дано описание эффекта Казимира, убедительно свидетельствующего о наличии вакуумных флуктуаций. В случае полей Дирака мы покажем, что стабильность вакуума и принцип Паули приводят к квантованию, основанному на правилах антикоммутации. К числу главных выводов этой главы относятся также существование связи между спином и статистикой, а также СРТ-теорема.

3.1. КАНОНИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ

В нерелятивистском случае мы получаем уравнение Шредингера, заменяя классические наблюдаемые операторами, а скобки Пуассона — коммутаторами. Как обычно, сопряженные импульсы являются производными функции Лагранжа по скоростям. В гл. 1 показано, что эту классическую процедуру можно обобщить на бесконечные системы, если дискретные индексы заменить непрерывными, а символ Кронекера — -функцией Дирака. Обобщим процедуру квантования непосредственно на этот случай, не слишком заботясь вначале о деталях. Единственно, что требует осторожности, — это необходимость сохранить лоренц-инвариантность. В частном случае электродинамики лагранжиан, по крайней мере классический, известен. После квантования нам нужно выяснить, какую роль играет лагранжиан в теории. Рассмотрением этого вопроса мы займемся в гл. 9 (см. т. 2 настоящей книги), в которой предложен иной плодотворный подход к квантованию с применением методов континуального интегрирования.

Очевидно, что последовательная интерпретация квантовой теории опирается на динамическое описание, которое она задает (например, это описание может приводить к возникновению связанных состояний и т. п.). К сожалению, в большинстве случаев

нам не удается решить уравнения движения и приходится рассматривать взаимодействия, используя различные приближения. Это главная трудность, которая в некоторых случаях не позволяет нам достичь четкого и последовательного описания. Благодаря перенормировкам мы можем частично преодолеть эту трудность При этом некоторые из взаимодействий оказываются скрытыми в силу того, что наблюдаемые величины выражаются через измеряемые массы и константы взаимодействия.

Уайтман предложил более последовательный, но более трудный аксиоматический подход. В данном подходе квантовая теория поля строится на основе нескольких четко сформулированных аксиом, полученных путем идеализации физических требований. Для того чтобы раскрыть содержание теории, приходится привлекать сложные математические построения. Решить эту задачу можно двумя главными методами. В рамках первого из них подробно изучают функции Грина, а именно их аналитические свойства в импульсном пространстве, алгебраические свойства и скачки. В конечном счете можно прийти к теории рассеяния, после того как будут точно определены асимптотические состояния. Более претенциозная программа включает явное построение фундаментальных операторов, таких, как гамильтониан, с целью исследования их спектральных свойств. Последние позволяют получить интерпретацию в терминах частиц, связанных состояний, состояний рассеяния и т. д.

Мы ставим перед собой более скромную цель и будем следовать отчасти по исторически сложившемуся пути, объединяющему приближенные методы, физическую интуицию и математическую дедукцию. Можно надеяться, что эти разные методы когда-нибудь объединятся и теория обретет более строгую основу.

На первый взгляд может показаться, что теорию поля нельзя интерпретировать, исходя из представления о микрообъектах,

которые мы идентифицируем как частицы В теории поля может возникнуть такая же путаница, как и в теории света с корпускулярно-волновым дуализмом, о чем свидетельствуют долгие споры по этому вопросу. Квантовая теория сумела существенно прояснить данный вопрос, и в этом ее огромная заслуга Однако наивные представления, основанные на классических взглядах, имеют ограничения, связанные, в частности, с понятием тождественных частиц. Этот аспект теории находит свое отражение в структуре гильбертова пространства состояний, построенных для свободных полей, т. е. в структуре пространства Фока.

Мы рассмотрим здесь лишь локальные теории Смысл понятия локальности будет проясняться по мере того, как мы будем продвигаться вперед. Это понятие опирается на предположение о том, что пространственно-временные измерения возможны в произвольно малых областях. Из лоренц-инвариантности и слабой формы причинности следует, что измерения, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут влиять друг на друга. Иными словами, 1) локальные наблюдаемые существуют и 2) локальные наблюдаемые, относящиеся к областям, разделенным пространственно-подобным интервалом, коммутируют. Экспериментально это находит лишь косвенные подтверждения, поскольку не существует установок, сравнимых с ядерными и субъядерными размерами. Нам приходится с необходимостью проводить измерения с помощью объектов той же природы, что и исследуемые объекты. Замечательно, однако, что принцип локальности не нарушается вплоть до расстояний где -квадрат энергии сталкивающихся частиц в системе центра масс в современных ускорителях (в установке ISR в ЦЕРН’е ГэВ). Эти расстояния малы по сравнению с размерами атомов ( см).

Среди наиболее замечательных следствий, вытекаюших из объединения принципа микропричинности с релятивистской инвариантностью,

назовем связь спина со статистикой (фермионы — частицы с полуцелым спином, бозоны—частицы с целым спином) и СРТ-инвариантность. Последняя включает произведение зарядового сопряжения С, четности Р и инверсии времени Т. Это означает, что существуют античастицы, имеющие такие же кинематические инварианты, как и соответствующие им частицы, но противоположные по знаку аддитивные квантовые числа (электрический, барионный, лептонный заряды и т. п.).

3.1.1. Общая формулировка

Пусть — это поля, динамику которых мы намереваемся исследовать Индекс а обозначает внутренние (заряды и т. п.) или кинематические характеристики (такие, как индексы Лоренца). Предположим на время, что на рассматриваемые поля не наложены связи (которые сокращали бы число степеней свободы). Мы не будем также пока обсуждать поля с полуцелым спином, правильная трактовка которых требует специального рассмотрения (см. раздел 3.3).

Из классической функции Лагранжа для фиксированного момента времени

получаем сопряженные поля

Чтобы построить оператор Гамильтона Н, заменим с-числовые поля операторами, удовлетворяющими каноническим одновременным коммутационным соотношениям

причем коммутаторы равны нулю. Выражая с помощью (3.2) величину через находим гамильтониан Я:

Рассмотренная нами процедура имеет недостаток, связанный с упорядочением операторов. Кроме того, умножение полевых операторов, заданных в одной и той же точке, приводит к новым трудностям, в чем мы скоро убедимся. Оба этих аспекта связаны между собой.

Необходимо подчеркнуть, что при записи соотношения (3.3) мы не определили, в каком гильбертовом пространстве действуют указанные там операторы. В случае свободных полей, как мы

увидим, этот вопрос решается просто, и поэтому мы не будем на нем останавливаться при небольших отклонениях от свободных полей. Однако в общем случае ответ на этот вопрос не является тривиальным, и, чтобы получить его, требуется некоторое знание динамики. Вот почему динамика в известной степени влияет на саму структуру теории

Предположим для определенности, что имеется только одно вещественное поле в классической теории, и, следовательно, эрмитово поле в квантовой теории с лагранжианом

где V — гладкая функция (например, полином). Классические уравнения движения записываются в виде

В случае когда V сводится к квадратичному члену мы имеем

откуда следует уравнение Клейна — Гордона

которое будет интерпретироваться здесь как уравнение классического поля, а не как релятивистское обобщение уравнения Шредингера. Для произвольного , т. е. для произвольного самодействия без производных, сопряженный импульс дается выражением

так что гамильтониан, выраженный через , запишется в виде

а в простейшем случае квадратичного определяемого из (3.7), мы имеем

Здесь не возникает проблема упорядочения операторов. Следовательно, единственным источником затруднений может оказаться умножение операторов, заданных в одной и той же точке. Рассмотрим

сначала случай, когда гамильтониан определяется формулой (3.11). Мы узнаем в нем простую систему связанных гармонических осцилляторов. Для того чтобы дать физическую интерпретацию такой системы, представим себе, что пространство одномерно и что координата х принимает не непрерывные, а лишь дискретные значения, кратные некоторой элементарной длине, принимаемой за единицу. В этом случае выражение (3.11) заменяется на следующее:

Физическая модель, соответствующая гамильтониану (3.12), представляла бы собой колебания одномерного «кристалла», причем описывало бы смещение атома, а соответствовало бы сопряженной переменной. Каждый отдельный осциллятор с возвращающей силой, обусловленной слагаемым связан со своими ближайшими соседями благодаря наличию в потенциальной энергии члена При изучении такой системы естественно перейти к нормальным колебаниям Учитывая дискретную трансляционную инвариантность гамильтониана Н, запишем следующее преобразование Фурье:

Коммутационные соотношения принимают вид

Последнюю сумму можно записать в виде

При этом если продолжить как периодические функции от k, то эта сумма сведется к величине Используя (3.13), получаем следующее выражение для эрмитова гамильтониана:

Чтобы отождествить его с суммой по отдельным несвязанным осцилляторам, положим

Операторы представляют собой операторы рождения и уничтожения моды k с энергией . Гамильтониан принимает вид

а поля записываются следующим образом:

Операторы называются операторами уничтожения и рождения, поскольку если -собственное состояние гамильтониана Н, отвечающее энергии Е, то справедливы следующие соотношения:

В этой механической модели моду колебаний отвечающую энергии мы интерпретируем как когерентное квантованное колебание атомов решетки, или фонон. Здесь становится ясной связь между частицами (фононами) и полями — смещение атома). Руководствуясь физической интуицией, можно было бы сначала рассмотреть состояния кристалла, описываемые волновой функцией, получаемой посредством диагонализации поля:

Но мы поступим иначе, а именно построим набор состояний как фононные возбуждения вакуума Мы сразу же наталкиваемся на трудность, поскольку энергия основного состояния, т. е. наименьшее собственное значение гамильтониана, в действительности бесконечна. К энергии нулевых колебаний каждая мода k добавляет величину Это согласуется с соотношением неопределенностей, так как каждый осциллятор обладает минимальным разбросом импульса, отвечающим его потенциальной энергии. Вследствие того, что мы имеем континуум мод, на каждый интервал приходится бесконечная энергия. Это свойство связано с бесконечными размерами системы. В самом деле, поскольку для любого k

мы имеем

последний интеграл не имеет смысла, так как Однако, если размеры кристалла конечны зададим, используя периодическую структуру, периодические граничные условия, отождествляя узлы . При этом волновой вектор k будет принимать значения , где q — целое число, причем и энергия основного состояния будет конечной.

Ясно, что имеет конечный предел при . Отсюда следует, что энергия основного состояния действительно пропорциональна размерам системы.

Взяв дискретную, а не непрерывную модель, мы ввели в импульсном пространстве зону Бриллюэна — что эквивалентно ультрафиолетовому обрезанию в исходной модели. Напомним читателю, что выражение «ультрафиолетовая катастрофа» связано с расходящимся вкладом высокочастотных мод электромагнитного поля в тепловое излучение абсолютно черного тела. Пространственное обрезание позволяет далее однозначно определить оператор Гамильтона Это имеют в виду, когда говорят, что система находится в ящике Однако можно использовать следующую схему. До тех пор пока мы не разрушим кристалл, мы не можем измерить энергию основного состояния. В теории поля основное состояние интерпретируется как вакуум, который еще труднее разрушить! Обмены энергией с кристаллом не чувствительны к выбору начала отсчета. Мы примем, что основное состояние имеет нулевую энергию, и переопределим гамильтониан

следующим образом:

В релятивистских теориях мы обязательно должны проверить, что эта процедура не нарушает лоренц-ковариантности.

В выражении (3.21) операторы рождения и уничтожения расположены в «нормальном -последние справа от первых. Эта форма записи называется также упорядочением Вика и обозначается двоеточиями:

Заметим, что под знаком нормального упорядочения операторы коммутируют и что в нашем определении учтено основное состояние свободного поля.

Если мы восстановим постоянную решетки а, то для значений много меньших величины отвечающей границе зоны Бриллюэна, частота приближенно равна

Это выражение, если k интерпретировать как импульс фонона, совпадает с законом дисперсии в релятивистской механике. В физике твердого тела величина k является лишь квазиимпульсом, поскольку она определена с точностью до величин, кратных

В рамках теории, в которой динамика системы описывается соотношениями (3.12), фононы являются хорошо определенными объектами, причем их число сохраняется, в том смысле, что оператор

коммутирует с гамильтонианом.

Суперпозиция нескольких колебательных мод дает состояние, в котором индивидуальность фононов ограничена, тогда как атомы в различных узлах решетки хорошо различимы (например, в одном из узлов можно поместить примесь). В действительности фононы ведут себя как бозонная система, что становится очевидным, если включить взаимодействие. Например, можно рассмотреть добавочный ангармонический член в энергии или связать кристалл с термостатом.

Симметрия Бозе проявляется, когда мы строим состояния, действуя операторами рождения на нормированный вакуум . К сожалению, состояние ненормируемо, поскольку вследствие бесконечных размеров системы о чем упоминалось выше. Однако можно построить волновой пакет, образуя линейную суперпозицию

где функцию можно выбрать таким образом, что она будет иметь ярко выраженный максимум в точке k, но при этом будет выполняться условие

Иными словами, должна быть квадратично-интегрируемой. Основные операторы должны быть сглажены пробными функциями, чтобы получались разумные выражения; эти функции называются операторно-значными обобщенными функциями Идеализированное представление о волне, имеющей определенный импульс k, следует считать упрощением, когда разброс пренебрежимо мал по сравнению с рассматриваемыми в задаче импульсами (или энергиями). Например, в кристалле разброс ограничен снизу величиной эффект, который можно иногда наблюдать И даже в трансляционно-инвариантном мире геометрия экспериментальной установки всегда приводит к эффекту конечного размазывания.

Состояние следует интерпретировать как одночастичное (фононное) состояние Чтобы построить полное гильбертово пространство состояний, образуемое векторами, такими, как

мы используем обычную математическую процедуру, образуя линейные суперпозиции и их пополнение Коши. Построенное таким образом пространство называется пространством Фока. Рассмотрим действие операторов N и Н на состояние Предположим, что волновые функции имеют ярко выраженный максимум в точке Тогда

Следовательно, мы имеем фононное состояние с почти определенной энергией. Рассмотрим более подробно соответствующую ему волновую функцию. Используя коммутативность операторов рождения, мы можем записать

где в последнем подынтегральном выражении сумма включает все перестановки а набора целых чисел . Можем ли мы считать, что или что

является волновой функцией данного состояния с точностью до нормировочного множителя? Такой вопрос имел бы смысл, если бы существовала наблюдаемая с различными средними значениями для различных волновых функций. Однако в действительности это не так. В самом деле, даже если с самого начала ввести несимметричное ядро в представлении состояния коммутация операторов рождения симметризует его автоматически. Фононы представляют собой тождественные частицы, подчиняющиеся статистике Бозе в силу основных коммутационных соотношений (3.12).

Чтобы получить нормированное -частичное состояние, предположим, например, что одночастичные волновые функции ортонормированы:

Если

Следовательно,

Перенося каждый оператор a, вправо и используя соотношение вместе с условием сразу получаем

откуда следует, что величин) можно считать равной фазовому множителю. Однако, если одночастичных волновых функций равны одночасгичных волновых функций равны т. д., причем по-прежнему ортонормированные функции, не трудно показать, что правильно нормированное состояние записывается в виде

В более общем случае, если — симметричная функция, нормированное -частичное состояние принимает вид

Мы предлагаем читателю в качестве интересного упражнения вычислить волновую функцию состояния с определенным числом фононов, и в частности волновую функцию основного состояния, в базисе, который диагонализирует поле.

Каноническое квантование выполнено для фиксированного момента времени, например при Однако теория является инвариантной по отношению к временным трансляциям. Следовательно, можно было бы выбрать любой другой момент времени t и использовать операторы так, что

причем

Очевидно, что удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, а операторы не зависят от времени. Наблюдаемые в моменты времени t и 0 связаны друг с другом унитарным каноническим преобразованием. Матричные элементы, соответствующие измерениям, не зависят от того, рассматриваем ли мы представление Шредингера или представление

Гейзенберга

Из структуры выражения (3.34) становится понятным, почему поле имеет как положительные, так и отрицательные частоты. Мы видим, что они соответствуют рождению и уничтожению фононных мод. Последние всегда имеют положительные энергии . Следовательно, мы не можем рассматривать как волновую функцию. Это оператор в пространстве Фока, хотя он и выражается через решения волнового уравнения. Суперпозиция строится с помощью операторно-значных амплитуд. Эта процедура называется вторичным квантованием Рассмотрение механической модели на примере кристалла позволяет нам перейти к квантовой теории релятивистского скалярного поля. Мы уже не можем интерпретировать колебания как колебания атомов, однако аналогия между фононами и частицами остается. Полагая энергию вакуума равной нулю, мы будем все еще испытывать некоторое сомнение.