Главная > Квантовая теория поля, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6.1.2. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики

Полный лагранжиан, описывающий взаимодействующую систему фотонов, электронов и позитронов, записывается в виде

где

Эти выражения нам уже встречались в гл. 3 и 4 В первом из выражений (6 25) вводится массивный фотон с массой много меньшей массы электрона , и здесь нам приходи использовать индефинитную метрику. Лагранжиан взаимодействия соответствует минимальной связи, т. е. замене электронном лагранжиане.

Для двух типов пропагаторов, входящих в спаривания, будем использовать различные обозначения. Электрон-позитронный пропагатор обозначим сплошной линией, ориентированной в направлении распространения заряда ():

Этот пропагатор, как известно, не является симметричной функцией от х и у, но удовлетворяет соотношению (3.176). Фотонный

пропагатор мы обозначим волнистой линией:

Для того чтобы избежать путаницы с электронной массой здесь введено обозначение Следует отметить, что величины к и не входят в физические результаты.

Вследствие сохранения заряда функции Грина содержат равные числа полей

    (6.28)

Чтобы не усложнять обозначения, мы опустили спинорные и векторные индексы, от которых зависит G. Как и в случае (6.14), можно получить выражение для G через -поля:

где предполагается, что поля, входящие в лагранжиан Нормально упорядочены. В дальнейшем индексы будем опускать Разлагая (6 29) в степенной ряд по и используя теорему Вика, приходим к диаграммам Фейнмана, построенным из пропагаторов (6 26) и (6.27) и вершины

Эта вершина имеет один векторный и два спинорных индекса, которые сворачиваются с соответствующими индексами фотонных и фермионных пропагаторов Как и в скалярном случае, знаменатель в (6 29) служит для исключения вакуумных поддиаграмм.

Рассмотрим знаки, появившиеся после применения теоремы Вика к фермионам. Вследствие сохранения заряда в диаграммах встречаются два вида фермионных линий, замкнутые петли и незамкнутые линии, оканчивающиеся в точках и

РИС. 6.8. Пример идендичных диаграмм в спинорной электродинамике; учитываться должна только одна из них.

начинающиеся в Замкнутые петли составлены из последовательности пропагаторов полей, входящих в лагранжиан взаимодействия:

Так как последние коммутируют под знаком Г-произведения, его можно записать в виде

не меняя знака выражения Произведение спариваний (6 31) получается после перестановки функций с нечетным числом полей Отсюда следует, что каждой фермионной петле отвечает знак минус.

С другой стороны, незамкнутые линии определяют перестановку точек — начало линии, кончающейся в . Это приводит к появлению дополнительного знака, равного сигнатуре перестановки

Диаграммы, различающиеся только ориентацией фермионной петли, обе дают вклад только в том случае, если они топологически различны Например, очевидно, что диаграммы на рис 6.8 идентичны, лишь одна из них дает вклад в Напротив, каждая из двух диаграмм на рис 6.9, а и б дает вклад в четырехфотонную функцию (рассеяние фотона на фотоне) Эти вклады соответствуют двум различным совокупностям спариваний:

причем сворачивается с и т. п. В конфигурационном пространстве в четырехточечную функцию дают вклады различных диаграмм, которые получаются из диаграммы, приведенной на рис 6 9, а, с помощью перестановок точек например, диаграмма на рис получается из диаграммы рис. 6.9, а перестановками

РИС. 6.9 Четырехфотонная амплитуда в низшем порядке. Диаграммы (а) и (б) не идентичны в конфигурационном пространстве. После суммирования по переменным остается шесть различных диаграмм, изображенных на рис. в

После интегрирования по перестановок переменных z дают фактор, который компенсирует множитель возникающий в разложении . Таким образом, остается шесть различных диаграмм (рис. 6.9, в) (и никаких факторов).

Представление в импульсном пространстве определяется с помощью фурье-преобразования Запишем для связной функции следующее выражение.

здесь все импульсы являются входящими Правила Фейнмана для вычисления функций состоят теперь в том, чтобы нарисовать все возможные топологически различные диаграммы и сопоставить им соответствующие факторы, перечисленные в табл 6.1.

Таблица 6.1. Правила Фейнмана для спинорной электродинамики

(см. скан)

Затем все спинорные индексы необходимо свернуть вдоль фермионных линий (для каждой замкнутой петли это сводится к вычислению следа), а все векторные индексы свернуть вдоль фотонных линий Наконец, нужно выполнить все интегрирования по внутренним импульсам

Для диаграммы порядка (диаграммы с вершинами) интегрирование по переменным и их перестановкам приводят к сокращению множителя в разложении Следовательно

в данном наборе правил, когда учитываются только топологически различные диаграммы, фермионная электродинамика не содержит факторов симметрии. Читатель может сравнить диаграммы, представленные на рис. 6.8, a и 6.10, с аналогичными диаграммами скалярной теории, приведенными на рис. 6.6, в и 6 3, а Первые диаграммы, если выбрать одну ориентацию для каждой фермионной петли, не имеют факторов симметрии, в то время как последние имеют весовые множители соответственно

РИС. 6.10. Диаграмма спинорной электродинамики в отсутствие фактора симметрии

РИС. 6 11. Две диаграммы с противоположными ориентацииями спинорной петли

Теорема Фарри При вычислении функции Грина все диаграммы, содержащие фермионную петлю с нечетным числом вершин, можно не учитывать Действительно, две петли с противоположными ориентациями (рис 6 11) дают вклады с противоположными знаками Чтобы показать это, запипеч вклад, соответствующий первой ориентации, в виде

и вспомним, что существует матрица С [см, (3.176)], такая, что выполняются следующие равенства

Вводя в выражении для между пропагаторами величину получаем

С точностью до знака это выражение совпадает с вкладом диаграммы, имеющей противоположную ориентацию Следовательно, для нечетных s вклады обеих диаграмм сокращаются, что и требовачось доказать.

1
Оглавление
email@scask.ru