5.1.4. Производящий функционал

Совокупность соотношений (5 28) можно записать в компактной операторной форме. Чтобы упростить обозначения, включим множитель , т. е. выберем в этом разделе нормировку таким образом, чтобы . В соответствии с предыдущим замечанием будем также использовать единый символ для обозначения операторов рождения и уничтожения, полагая для произвольного -вектора k на массовой поверхности

Таким образом,

Пусть - локальные бозонные поля. Соотношение (5.28) эквивалентно следующему операторному соотношению:

Это нетрудно доказать, если взять матричные элементы для -состояний, использовать равенство и с помощью (5.30) выразить а через поле. Искомое соотношение тогда получается, как и выше, заменой граничных членов интегралами от производных по времени. С помощью итерации мы приходим к коммутатору более общего вида:

Аналогичные формулы могут быть написаны и тогда, когда имеется несколько типов частиц и полей.

Чтобы уяснить себе роль соотношения (5.32) как средства построения самого оператора S, вспомним, что пространство Фока строится как произведение гильбертовых пространств, каждое из которых соответствует определенной моде (обозначенной здесь импульсом k). Для данного осциллятора с основными операторами, такими, что и вакуумным состоянием нормированные возбужденные состояния запишутся в виде . Проектор имеет следующее представление:

Это действительно эрмитов оператор, оставляющий инвариантным вакуумное состояние и обладающий свойством

или

Следовательно, что доказывает (5,33). Пусть -оператор, достаточно регулярный, чтобы имели смысл последующие операции. Разложим

Q в ряд по его матричным элементам:

В этом выражении a a фигурируют как независимые переменные, а операторы перед матричный элементом расставлены в нормальном порядке. Таким образом,

Это еще не конечный результат. Наша цель — найти матричные элементы Q между нормированными когерентными состояниями, т. е. состояниями, которые получаются действием на вакуум унитарного оператора . Однако, соотношение

позволяет переписать последнюю формулу в виде

Кроме того, мы можем прокоммутировать с производными, действующими слева, чтобы в конце вычислений можно было воспользоваться условием Под знаком нормального произведения она коммутируют, и мы видим, что оператор сдвигает а на величину а . Эти замечания позволяют прийти к окончательному выражению

    (5.34)

Разумеется, мы получили бы неправильный результат, если бы из (5.34) сделали поспешное заключение, что для реконструкции самого оператора достаточно знать лишь диагональные матричные элементы оператора Q в базисе когерентных состояний. Из формулы (5.34) следует, что а и а надо рассматривать как независимые переменные, чтобы получить требуемые производные.

Возвращаясь снова к физическому пространству Фока с бесконечным числом степеней свободы, мы можем написать единичный оператор в виде

где первый член в сумме надо понимать как оператор проектирования на вакуум , который определяется соотношением, обобщающим (5.33), а именно

так что -матрицу можно представить в виде

в полной аналогии с (5.34). В соответствии с нашим условием нормировки в экспоненту когерентного состояния входит мера а не . Объединим теперь этот результат с выражением (5.32), в котором положим . Если в правой части выражения (5.32) ввести источник, оно примет простой вид:

Поскольку вакуум стабилен, т. е. получаем

Здесь через а обозначено решение однородного уравнения Клейна—Гордона, которое имеет вид

Подставляя этот матричный элемент в выражение (5.37), имеем

Нам, естественно, пришлось ввести свободное -поле и его фурье-разложение [обратное по отношению к (5.30)]

Напомним читателю, что нормировка поля требует, чтобы в последнем Т-произведении величина была заменена на . В результате этих длинных алгебраических преобразований мы получили компактное соотношение между S-матрицей и производящим

функционалом для функций Грина взаимодействующего поля

Последняя формула имеет некоторое внешнее сходство с выражениями, которые мы получали, рассматривая взаимодействия с внешними источниками, рассмотренными в гл. 4. Отличие состоит в том, что в данном случае мы не имеем какого-либо простого замкнутого выражения для

Функционал является одной из основных величин теории поля. Заманчиво предположить, что он содержит гораздо больше информации, чем это необходимо для вычисления амплитуд на массовой поверхности. Однако в силу ряда причин извлечь эту информацию современными методами невозможно. Полные функции Грина необходимо избавить непротиворечивым образом от ультрафиолетовых расходимостей, возникающих при рассмотрении их по теории возмущений. Для изучения связанных состояний требуются уравнения для амплитуд вне массовой поверхности. Кроме того, теория поля дает прекрасную основу для анализа поведения взаимодействий на малых расстояниях. Тем не менее с -матричным подходом, который основывается на самых общих свойствах амплитуд рассеяния, вытекающих из соотношений типа (5.38), связаны многие замечательные достижения. Краткий обзор этого подхода, выходящего за рамки нашей книги, мы дадим в разд. 5,3.