3.2. КВАНТОВАННОЕ ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ

Рассмотренный выше пример из термодинамики приводит нас посредственно к полю излучения. Действительно, спектр излучения абсолютно черного тела, полученный Планком, явился исторически первым случаем квантования поля. Единственно, что нам нужно, так это обобщить построенный выше формализм на степени свободы, описываемые потенциалом . Так как для нас важен локальный характер теории, мы не вправе использовать в качестве основной динамической переменной калибровочноинвариантный тензор . Нам придется иметь дело с зависимостью А от калибровки, о чем уже упоминалось в гл. 1. Эту трудность пытались обойти различными способами. В нашу задачу не входит описание всех этих способов, мы рассмотрим лишь квантование Гупты — Блейлера, использующее индефинитную метрику.

3.2.1. Индефинитная метрика

Напомним, что лагранжиан

в котором F выражается через А, не подходит для канонического квантования, поскольку импульс, сопряженный обращается в нуль. Если бы нам не надо было заботиться о явной лоренц-ковариантности, мы могли бы ограничиться величиной А, фиксируя и используя условие типа . С физической точки зрения это, несомненно, разумный шаг, но он не соответствует нашим целям. Поэтому мы поступим иначе, а именно видоизменим уравнения движения. Поскольку при этом придется ввести фиктивные степени свободы, теорию Максвелла мы сможем применить, наложив соответствующие ограничения на физические состояния. Поначалу может показаться, что цена слишком высока не только потому, что гильбертово пространству при квантовании окажется слишком широким, но и вследствие того, что данное пространство не обладает положительной метрикой, т. е. допускает состояния с отрицательной нормой! Таким образом, обычная вероятностная интерпретация квантовой механики будет справедлива лишь тогда, когда мы ограничимся рассмотрением физических квантов, а именно фотонов только с двумя поляризациями. Напомним также, что для сохранения калибровочной инвариантности, т. е. принципа, который оправдывает указанную выше процедуру, необходимо убедиться в том, что ток продолжает сохраняться и после включения взаимодействия.

Итак, мы заменяем лагранжиан (3.97) следующим выражением:

где - произвольная постоянная. Уравнения Максвелла при этом заменятся на

а сопряженные импульсы для четырех компонент А запишутся в виде

    (3.100)

В частности, теперь не обращается в нуль.

Независимо от того, равна ли нулю правая часть уравнения (3.99), как в случае свободного поля, или нет, когда мы заменяем ее сохраняющимся током, выполняется следующее равенство:

    (3.101)

так что представляет собой свободное скалярное поле. В классическом случае мы показали, что при соответствующих граничных условиях обращается в нуль всюду благодаря (3.101), и, следовательно, теория Максвелла восстанавливается в лоренцевской калибровке . В квантовом случае это невозможно.

В самом деле, мы хотим ввести канонические коммутационные соотношения

    (3.102)

В этом случае операторное уравнение не может выполняться, поскольку с точностью до постоянного множителя величина равна , а коммутатор последнего с при совпадающих временах не равен нулю Мы видим, что квантование в соответствии с (3.102) привносит в теорию нефизические свойства, которые необходимо будет устранить. Хотя все вычисления можно провести при произвольном значении X, для простоты здесь и далее будем полагать . В этом случае уравнение (3.99) принимает вид

    (3.103)

В квантовом случае выбор X не совсем точно называют выбором калибровки, а случай называют калибровкой Фейнмана.

В результате такого упрощения мы не сможем непосредственно доказать, что наши результаты не зависят от к. Мы предоставляем читателю проделать это самостоятельно в случае свободного поля. Можно также рассмотреть различные варианты выражения (3.98), когда дополнительный член выбран в виде либо где - числовое классическое поле, либо , где - классическое векторное поле (возможно, постоянное).

Помимо (3.102), в полную систему коммутационных соотношений входят также соотношения

    (3.104)

Отсюда следует, что временные производные величины коммутируют при совпадающих временах, так что (3.102) и (3.104) можно переписать следующим образом:

это аналогично скалярному случаю, повторенному четыре раза. Поскольку компоненты классического потенциала вещественны, предположим, что соответствующие им квантованные величины эрмитовы.

Таким образом, динамическая система описывается уравнением (3.103) и соотношениями (3.105). Отметим, однако, некоторое отличие по сравнению со скалярным случаем, где нетривиальный коммутатор был равен

    (3.106)

Только три из четырех компонент подчиняются соотношениям, аналогичным (3.106). Коммутатор, включающий , имеет обратный знак, как если бы поле и его сопряженная

переменная поменялись местами. Это обстоятельство связано с тем, что является 4-вектором, и как вскоре будет показано, оно приводит к совершенно другому гильбертову пространству, когда мы «решаем» (3.105) методом, рассмотренным в разд. 3.1.

Чтобы решить эту задачу, запишем разложение Фурье поля по решениям уравнения (3.103) в виде плоских волн, полагая

    (3.107)

здесь, как и в выражении (3.35),

Для любого k, лежащего на верхней поле светового конуса, величины образуют систему четырех линейно-независимых векторов, которые можно считать вещественными. Символ начает эрмитово сопряжение по отношению к невырожденному скалярному произведению в пространстве Фока. Из (3.108) видно, что кванты поля не имеют массы.

Чтобы прояснить смысл выражения (3.107), выберем в данной системе отсчета определенные векторы поляризации . Пусть обозначает ось времени Возьмем в плоскости, ортогональной кип, так что

Затем выберем вектор таким образом, чтобы он был расположен в плоскости , ортогонален и нормирован:

Наконец, предположим, что равен . При таком выборе мы будем называть поперечной, - продольной, а — скалярной поляризацией. В системе отсчета, в которой а к направлен вдоль третьей оси, мы имеем

В любом случае справедливы следующие соотношения:

    (3.109)

Наличие знаменателя в первом выражении (3.109) обусловлено индефинитностью скалярного произведения. Из выражения (3.107)

следует, что А автоматически удовлетворяет уравнениям поля. Коммутационные соотношения (3.105) выполняются при условии, что

    (3.110)

Кроме того, для произвольного момента времени можно записать следующее коммутационное соотношение:

    (3.111)

где А определяется выражением (3.56) при . Мы ощущаем уверенность, когда видим, что такие ковариантные выражения, как , возникают естественным путем Введем далее вакуумное состояние, которое уничтожается операторами

Но здесь имеется некоторая трудность, поскольку мы, очевидно, ввели вдвое больше поляризационных состояний, чем обычно приписывается фотонам. Трудность проявляется с очевидностью, когда строится одночастичное состояние со скалярной поляризацией:

Вычислим величину

С учетом (3.110) получаем парадоксальный результат, а именно

т. е. пространство Фока имеет индефинитную метрику! Если выполнить аналогичные вычисления с тремя другими типами поляризации, то мы получим состояния с положительной метрикой Как быть с вероятностной интерпретацией квантовой механики?

До тех пор пока мы ограничиваемся рассмотрением свободного поля, ситуация не столь катастрофическая, как может показаться. Однако взаимодействия могут возбуждать нежелательные состояния. Важно отметить, что до сих пор фактически мы имели дело не с теорией Максвелла, поскольку нами был существенно изменен лагранжиан. Чтобы восстановить теорию Максвелла, можно было бы считать, что но наложить это условие на операторы невозможно. Следовательно, можно по крайней мере попытаться выбрать такие состояния чтобы условие Лоренца выполнялось в среднем:

    (3.112)

С целью сохранения линейной структуры физического гильбертова пространства потребуем, чтобы аннигиляционная (положительно-частотная) часть оператора уничтожала

    (3.113)

Отсюда с очевидностью следует выражение (3.112).

Теперь рассмотрим состояния, принадлежащие Поскольку условие (3.113) является линейным, можно выбрать базисные состояния, которые получаются при действии на вакуум (сглаженными) произведениями операторов рождения, соответствующих различным поляризациям. Поэтому мы можем факторизовать эти состояния следующим образом:

    (3.114)

здесь соответствует поперечным фотонам, а получается действием на вакуум продольными и скалярными операторами. Это разложение зависит от того, какие мы выберем векторы поляризации. Ясно, что достаточно изучить следствие условия (3.113) для таких состояний, как поскольку в ) входят лишь продольные и скалярные поляризации:

    (3.115)

так что условие принимает вид

    (3.116)

Было бы слишком ожидать, что это уравнение позволит полностью определить Кроме того, необходимо учитывать произвол в выборе вектора поперечной поляризации, к которому по желанию можно добавлять член, пропорциональный k. Этот произвол должен отражаться на , т. е. только на части состояния, поэтому мы можем лишь предположить, что данная физическая ситуация представляется классом эквивалентных векторов, принадлежащих Разумеется, необходимо убедиться в том, что в этом подпространстве векторы имеют положительную квадратичную норму.

Перепишем условие в эквивалентном виде

    (3.117)

Состояние может быть линейной комбинацией состояний, соответствующих одному, двум и т. д. скалярным или продольным «фотонам»:

    (3.118)

Оператор числа этих фотонов, полученный с помощью (3.110) (обратите внимание на знак минус), запишется в виде

    (3.119)

Состояние для которого выполняется уравнение (3.117), должно подчиняться условию

Следовательно,

При такое состояние имеет нулевую норму. Общее решение записывается в виде (3.118), причем

Коэффициенты являются произвольными, и каждое состояние удовлетворяет соотношению (3.117). Остается показать, что произвол в выборе не влияет на физические наблюдаемые. Рассмотрим, например, энергию. Запишем гамильтониан

    (3.120)

При действии H на состояние, принадлежащее мы получаем, вообще говоря, вклад от нефизической части но он обращается в нуль, когда мы вычисляем среднее значение, так как в силу (3.117)

Для оператора импульса мы получаем аналогичную формулу, следует лишь заменить на к. Поскольку наблюдаются только средние значения, мы видим, что если ограничиться рассмотрением лишь то исчезают не только отрицательные вероятности, но и вклады от скалярных и продольных фотонов. Вклад дают лишь два состояния с физическими поперечными поляризациями.

Полезно отдавать себе отчет в том, что произвол в выборе следует из того факта, что в этом состоянии среднее значение потенциала является чистым градиентом. Вычислим в качестве упражнения это среднее значение. Из (3.118) нетрудно получить следующее выражение:

Все остальные компоненты не вносят вклада в силу того, что изменяет на единицу, можно принять равным с необходимостью имеет вид

Выбирая вещественные векторы поляризации, получаем

Напомним, что и по определению

Поэтому

Следовательно, при условии что интеграл имеет смысл,

    (3.122)

где скалярная с-числовая функция представляет собой решение уравнения и может быть выбрана по желанию путем соответствующего подбора вектора Это еще раз доказывает, что произвол в выборе отражает калибровочный произвол для и не приводит к каким-либо существенным последствии

В классе эквивалентности векторов состояний вида налагая условие можно выбрать подходящего представителя; здесь также существен выбор базисных векторов поляризации. Вместо поперечных векторов поляризации, вещественных и ортогональных, будем использовать комплексные комбинации соответствующие двум значениям спиральности фотона.

Мы не станем приводить подробного доказательства лоренц-инвариантности.

Очевидно, что является лоренц-инвариантом, равно как и класс эквивалентности, представляющий данное физическое состояние. Читатель может построить генераторы преобразований Лоренца, а также доказать, что фотоны не только являются безмассовыми, но обладают спиральностью . Иногда говорят, что фотон имеет спин 1.

Хотя только векторы, принадлежащие имеют физическую интерпретацию, стоит подчеркнуть, что рассмотрение полного пространства Фока с индефинитной нормой необходимо для того, чтобы сохранить локальные свойства теории. Эти состояния входят, как правило, в суммы по полным системам промежуточных состояний.

В качестве упражнения предлагается обобщить рассмотрение, проведенное в разд. 3.1.5, с целью получения спектра абсолютно черного тела в рамках данного формализма.