5.3.3. Представление Йоста — Лемана — Дайсона

Это — представление матричного элемента коммутатора , определяемого формулой (5.173), согласующееся со спектральными свойствами в импульсном пространстве и свойствами носителя в конфигурационном пространстве Напомним, что коммутатор свободных полей [см формулы (3.55) и (3.56)] равен нулю вне светового конуса и имеет нечетный фурье-образ, сосредоточенный на гиперболоиде, соответствующем массе Представление Йоста-Лемана—Дайсона определяет как суперпозицию коммутаторов свободных полей в конфигурационном пространстве или свертки этих коммутаторов в импульсном пространстве:

Весовая функция отлична от нуля только для тех значений k и для которых гиперболоид не пересекает область . Такие гиперболоиды называются допустимыми. Их центры k лежат в области, образуемой пересечением верхней полы светорого конуса с центром в точке и нижней полы светового конуса с центром в точке При этом нижним пределом интегрирования по является величина

Очевидно, что определяемое выражением (5.174), обладает всеми требуемыми свойствами. Дайсон показал, что справедливо также обратное, а именно что для всегда можно написать представление этого вида. Интересующихся подробностями читателей мы отсылаем к статьям, цитируемым в примечаниях в конце данной главы.

Соответствующее представление для амплитуды можно получить, если просто сравнить формулы (5.171) и (5.173). Помимо фактора i они различаются из-за наличия ступенчатой функции в (5.171), которая умножается на коммутатор, заданный в конфигурационном пространстве При умножении этих обобщенных функций нам надо соблюдать осторожность, поскольку вклад от произведения их в точке нуждается в доопределении, Пренебрегая на время этой трудностью, мы получаем в импульсном пространстве свертку

Физическая амплитуда восстанавливается при переходе к пределу вещественных положительных времениподобных значений с

исчезающие малой мнимой частью, лежащей в верхней поле светового конуса

Может случиться так, что интеграл по расходится при больших значениях. Это является отражением в импульсном пространстве того факта, что запаздывающий коммутатор плохо определен. Однако можно произвести вычитание

где — целое, а полином от q, причем без изменения аналитических свойств, вытекающих из выражения (5.175). Поэтому мы не будем далее эти вычитания записывать в явном виде.

Представление (5 175) задает как аналитическую функцию для любых вещественных и комплексных точек, которые не принадлежат допустимым гиперболоидам.

Область аналитичности связанную с представлением Йоста—Лемана—Дайсона, трудно описать в наглядном виде. Поэтому позаимствуем из работы Броса, Фруассара, Омнё и Стора следующую полезную геометрическую конструкцию. Прием состоит в том, чтобы ввести пятую координату и отобразить исходное комплексное -мерное пространство q на поверхность второго порядка

РИС. 5.9. Область (заштрихованная часть рисунка), представляющая собой выпуклую оболочку области совпадения в пятимерном пространстве.

Таким образом знаменатель в выражении (5.175) заменяется линейным выражением (по ), и допустимые гиперболоиды — соответствующими плоскоаями с параметрами принадлежащими S. Теперь с каждой комплексной точкой связывается комплексная прямая линия описываемая параметрически величинами . Если принадлежит Р, то Р принадлежит и юпря женная ей точка, а потому прямая пересекая Р в двух (соответствующих Из свойств поверхностей второго порядка следует, что вещественные точки прямой ) (получаемые при вещественных X) не могут принадлежать Р, так что при условии вещественности прямые проходят полностью выше или полностью ниже поверхности Р. [Возможен исключительный случай, когда целиком принадлежит поверхности Вещественная область совпадения отображается на поверхность Р в области, ограниченной двумя плоскостями:

и допустимые плоскости не пересекают области впадения Условие приводит к тому, что они проходят выше плоскости, касательной к Р. Поскольку мы имеем дело с плоскостями, это определяет исключительную область - выпуклую оболочку области (назовем ее ), которая не может пересекаться какой-либо из допустимых плоскостей (рис. 5,9). Область аналитичности можно теперь описать следующим образом. Комплексная точка принадлежит ей в любом из указанных ниже случаев. 1. Прямгя проходит полностью ниже поверхности Р. Этот случай соответствует исходным трубам. пересекает оболочку Действительно, если бы точка () принадлежала допустимой плоскости, то это же относилось бы и к сопряженной с ней точке. При этом вследствие линейности прямая принадлежала бы допустимой плоскости и не пересекала бы