7.2.3. Мягкое тормозное излучение

В разд. 5.2.4 мы рассматривали тормозное излучение электрона в кулоновском поле. Была получена формула Бете—Гайтлера, демонстрирующая характерный спектр где — энергия фотона, или, что эквивалентно, потеря энергии электроном. Если ввести в рассмотрение среднее энергетическое разрешение , то после интегрирования мы получили бы вероятность излучения, пропорциональную величине которая могла бы компенсировать аналогичный член в сечении упругого рассеяния. Следовательно, наша цель состоит в том, чтобы проинтегрировать выражение Бете — Гайтлера по кинематическим переменным фотона в области Будем предполагать, что Может возникнуть возражение, что в гл 5 мы практически уже полагали . В действительности же единственный опасный член в пределе возникает от пропагаторов. Следовательно, можно применить формулу (5 151), определяющую сечение рассеяния в пределе бесконечно малого импульса фотона k. Обозначая этот вклад как находим

Однако энергетическое разрешение может зависеть от кинематических ограничений; при этом могут требоваться более тщательные вычисления с использованием полного выражения для сечения Бете — Гайтлера Здесь мы хотим лишь продемонстрировать основной механизм компенсации В формуле (7.87) в принципе но мы интересуемся только доминирующими вкладами в . Поэтому всякий раз, когда это допустимо, будем переходить к пределу Разумеется, при этом сохраняется связь Обозначим коэффициент при через В. Используя технику Фейнмана, запишем

здесь . Учитывая то, что находим

Подставляя этот результат в выражение для В с обозначениями , которые, мы надеемся, не запутают читателя, приходим к следующему одномерному интегралу по :

Используя наши предыдущие обозначения, мы видим, что

Следовательно, первый интеграл вычисляется в виде

Во втором интеграле введем переменную и вычислим его в пределе с точностью до поправок

порядка . Мы видим, что величина равна а потому

Собирая все вклады вместе, получаем выражение для сечения испускания мягких фотонов в виде