5.2.4. Тормозное излучение

В гл. 1 приведено классическое выражение для интенсивности излучения фотонов, когда скорость заряженной частицы резко изменяется. Мы рассмотрим здесь этот вопрос более подробно на примере кулоновского рассеяния на фиксированных ядрах (с зарядом ), рассмотренного в гл 2 В случае когда испускается один фотон, матричный элемент определяется формулой (5.87). В предположении, что

    (5.139)

где и — скорость падающего электрона, мы проведем разложение как по так и по и удержим только вклад главного члена В эвристическом подходе внешнее поле учитывается с помощью замены свободных спиноров на решения уравнения Дирака в присутствии внешнего поля так что

Пусть функции являются решениями уравнения

с соответствующими граничными условиями. Напишем амплитуду излучения

    (5.140)

при условии, что , Падающий электрон характеризуется асимптотически своим импульсом и поляризацией а, а выходящий электрон — импульсом и поляризацией . В гл 2 показано, что в низшем порядке по Лвнеш справедливы следующие выражения:

    (5.141)

Здесь - соответствующие решения свободного уравнения Дирака

где . Подставляя (5.141) в (5.140), замечаем, что вклад, пропорциональный интегралу . обращается в нуль при Следовательно, в низшем порядке

Отметим аналогию с амплитудой комптоновского рассеяния, в которую внешний потенциал подставлен вместо волновой функции свободного фотона . Используя решения (5.142) и преобразование Фурье потенциала

    (5.144)

находим

Это выражение удовлетворяет лишь закону сохранения энергии, поскольку инвариантность по отношению к пространственным трансляциям нарушается из-за присутствия силового центра.

После некоторых преобразований сечение можно записать в виде

    (5.146)

где - фактор потока, а в квадратных скобках стоит такое же выражение, как и в формуле (5.345).

Сечение излучения для неполяризованных частиц получаем, суммируя выражения (5.146) по и усредняя результат по а. Чтобы упростить обозначения, введем переданный импульс . Пусть далее а телесные углы отвечают выходящему фотону и электрону соответственно. Таким

образом,

    (5-147)

Величину F можно разложить на три составляющие:

Выбирая находим

Пусть — угол между векторами - угол между k и — угол между плоскостями , как показано на рис. 5.7.

Суммирование по поляризациям фотона можно выполнить с помощью выражений

В окончательной формуле используем обозначения

    (5-149)

РИС. 5.7. Кинематика процесса тормозного излучения.

Теперь можно записать дифференциальное сечение, которое было найдено Бете и Гайтлером в 1934 г.:

    (5.150)

Этот результат имеет довольно сложную структуру, проявляющую уже знакомое нам катастрофическое поведение при

В пределе выражения (5.147) и (5.148) можно приближенно записать в виде

    (5.151)

Это выражение нам известно из гл. 1, в которой приведены также результаты интегрирования сечений излучения.

На этом примере видно, что при малых k нам практически не удается отличить упругое сечение, включающее поправку порядка неупругого сечения, рассматриваемого в том же порядке. Следовательно можно ожидать лишь, что сумма этих двух выражении имеет в этом порядке конечный предел. В гл. 7 мы вернемся к рассмотрению этого вопроса.