Глава 6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

В настоящей главе будет развита релятивистская теория возмущений и диаграммная техника Фейнмана Мы рассмотрим, в частности, случай, когда лагранжиан взаимодействия содержит производные, а также установим связь ряда теорий возмущений с разложением по степеням постоянной Планка и изучим некоторые простейшие топологические свойства. Будет введено параметрическое представление интегралов Фейнмана, и на его основе построено продолжение в евклидову область В заключение обсудим аналитические свойства амплитуд и их поведение на разрезах.

6.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ПРАВИЛА ФЕЙНМАНА

Основной задачей теории поля является вычисление функций Грина, т. е. вакуумных средних хронологических произведений взаимодействующих полей:

Для ясности изложения рассмотрим здесь произвольное скалярное поле (или несколько таких полей) , а изложению квантовой электродинамики посвятим разд. 6.1.2. Удобно объединить все функции Грина в производящий функционал 00

При этом в соответствии с выражением (5.38) запишем -матрицу в следующей компактной форме:

Это соотношение представляет собой производящий функционал для редукционных формул. Поле удовлетворяет динамическим уравнениям, полученным с помощью лагранжиана

где квадратичный по полю свободный лагранжиан, а -лагранжиан взаимодействия Ради простоты предположим сначала, что не содержит производных полей Поскольку, вообще говоря, для функций Грина нельзя найти точного выражения, нам приходится использовать теорию возмущений. При этом рассматривается как малая добавка к Обычно зависит от одной или нескольких констант связи, и разложение теории возмущений оказывается степенным рядом по этой или этим константам. Однако, даже если константа связи мала, как в электродинамике, где мы не можем быть уверены в сходимости этого ряда. Как мы увидим ниже, имеются некоторые указания на то, что он является расходящимся асимптотическим рядом. Во всяком случае, разложение теории возмущений можно рассматривать как формальный математический ряд, из которого может быть извлечено много информации.

В случае когда теория содержит несколько констант связи, естественный «малый? параметр можно отождествить с Соответствующий ряд можно также описать топологически. Это разложение по петлям, соответствующее возрастающему числу независимых петель в соответствующих диаграммах. Таким образом, разложение теории возмущений можно одновременно рассматривать как ряд по малой константе связи, как полуклассическое разложение в окрестности свободного поля и, наконец, как процедуру, определенную топологически.

Начнем рассмотрение, как и в предыдущих главах, с некоторого эвристического построения и пренебрежем сначала такими трудностями, как предел бесконечного объема, возможное появление ультрафиолетовых расходимостей или правильное определение лагранжиана. Эти вопросы мы рассмотрим позднее.

6.1.1. Самодействующее скалярное поле

Как уже отмечалось, мы ограничиваемся сначала рассмотрением, скалярного поля . В гл. 4 было показано, что формально существует унитарный оператор U (t), который преобразует свободное поле во взаимодействующее поле :

где

Поскольку лагранжиан взаимодействия не содержит производных поля, мы имеем

Введем оператор более общего вида:

где выражается, как и выше, через . Этот оператор обладает следующими свойствами:

Выведем теперь фундаментальное соотношение

Эквивалентное соотношение получается, если приравнять коэффициенты при степени j в разложении (6.9) по

В правой части соотношений (6.9) и (6.10) символ Т-произведения относится ко всему выражению. Это означает, что после разложения экспоненты в степенной ряд по все поля должны быть упорядочены по времени При этом вакуумное состояние следует понимать как вакуумное -состояние

Предположим, что взаимодействие адиабатически выключается в отдаленном прошлом; отсюда следует, что . Рассмотрим упорядоченное во времени множество точек удовлетворяющее неравенствам . При этом мы имеем

Для отдаленного момента времени t, такого, что мы можем записать

и

Таким образом,

Эта формула остается верной в случае произвольного упорядочения во времени в пределах интервала Полагая , получаем

В том же пределе величина с точностью до фазы должна быть равна поскольку предполагается, что вакуумное состояние стабильно. Следовательно,

Подставляя (6 12) и (6.13) в (6.11), приходим к искомому соотношению (6.10). Наш вывод носит лишь эвристический характер, поэтому соотношения (6.9) и (6.10) можно рассматривать как определения.

Замечательно то, что соотношения (6.9) и (6.10) приводят к явно ковариантным выражениям, — это обстоятельство казалось тривиальным в период создания релятивистской теории возмущений. Согласно теореме Вика, Т-произведение сводится к определенным комбинациям нормальных произведений и ковариантных пропагаторов. «Бухгалтерию» этих комбинаций можно перевести на язык диаграмм, к рассмотрению которых мы сейчас переходим.

Разложим в числителе выражения (6.10) экспоненту в ряд и будем опускать всюду в дальнейшем индексы Тогда получим

Для определенности рассмотрим так называемую теорию

    (6.14а)

Все последующие рассуждения нетрудно обобщить на произволь. ное полиномиальное взаимодействие без производных. Нормирующий множитель 1/4! введен для удобства, поскольку при вычислениях он приводит к устранению комбинаторных факторов.

Перед константой связи знак минус выбран таким же, как и в классической теории с полным лагранжианом что обеспечивает устойчивость решения уравнения движения. Подставляя в (6.14) выражение (6.14а), получаем

Чтобы вычислить вакуумное среднее хронологического произведения свободных полей, применим теорему Вика [соотношение (4.65)] с элементарным спариванием

Напомним, что спаривание двух полей, стоящих под знаком нормального произведения, отсутствует. Данное множество спариваний удобно представить с помощью диаграммы, вклад которой можно вычислить по соответствующим правилам. Сформулируем эти правила сначала в конфигурационном пространстве. Поскольку в теории не равны нулю лишь функции Грина с четным числом внешних полей, заменим на Сопоставим члену порядка

сумму вкладов, каждому из которых соответствует диаграмма Фейнмана. На такой диаграмме -концы внешних линий, а — вершины. Из каждой вершины выходят четыре линии, причем каждая линия соединяет две различные точки: или или Линии, соединяющей точки или соответствует пропагатор Каждой вершине сопоставляем множитель Наконец, следует учесть так называемый фактор симметрии, отвечающий учету всех возможных спариваний, приводящих к данной диаграмме. Если мы свернем все четыре поля, входящих в моном с четырьмя полями, зависящими от других аргументов, мы получим комбинаторный множитель который компенсирует множитель . С другой стороны, если две линии, выходящие из оканчиваются в одной и той же точке множители 1/4! в вершинах сокращаются только частично. В случае, изображенном на рис. 6.1, а, этот множитель равен Он получается в результате следующей операции: (начальные вершинные факторы) х 4 x 3 (число возможных спариваний

между . Аналогично в случае рис. 6.2, б имеем Вообще говоря, фактор симметрии равен где -порядок группы симметрии диаграммы, т. е. группы перестановок линии в случае, когда вершины являются фиксированными.

РИС. 6.1. Примеры диаграмм, имеющих фактор симметрии,

Сформулируем правила Фейнмана для Т-произведения (6.17).

1. Нарисовать все различные диаграммы с внешними точками вершинами и просуммировать их вклады в соответствии со следующими правилами.

2. Каждой вершине сопоставить фактор — .

3. Каждой линии между сопоставить спаривание определяемое выражением (6.16).

4. Разделить вклад каждой диаграммы на фактор симметрии S. В качестве примера рассмотрим двухточечную функцию в низших порядках теории возмущений. При имеем тогда

РИС. 6.2. Вклады низшего порядка в двухточечную функцию теории как при 1 вклада не существует, поскольку спаривания нами запрещены. При существуют следующие три вклада, представленные на рис. 6.2:

3) тот же вклад, что и в предыдущем случае, но с заменой

Следует заметить, что в правиле 1 слова «различные диаграммы» имеют существенное значение В конфигурационном пространстве диаграммы считаются различными, если они отличаются топологически, когда все точки фиксированы Например, диаграммы на рис. 6 2, б и в различны, в то время как диаграммы на рис 6.3, д и б не являкися таковыми; в последнем случае следует учитывать только одну из них.

РИС. 6.3. Пример неразличимых диаграмм; следует учитывать только одну на них

Разделим все диаграммы на два класса Диаграммы первого класса не содержат вакуумных поддиаграмм, т. е. поддиаграмм, которые не связаны с внешними точками (см. рис. 6.2, а), диаграммы второго класса включают такие поддиаграммы. Добавляя вакуумные поддиаграммы, каждой диаграмме первого класса можно сопоставить набор диаграмм второго класса Обозначая индексом (1) вклад диаграмм первого класса в функцию Грина, можно написать следующее соотношение:

поскольку вакуумные поддиаграммы порядка соответствуют вакуумному среднему хронологического произведения — к лагранжианов взаимодействия комбинаторный фактор

появляется вследствие того, что при интегрировании по все возможные перестановки у дают одинаковые вклады. Легко видеть, что вакуумные амплитуды

факторизуются в обеих частях соотношения (6.18) и что

В правую часть выражения (6.19) дают вклад только диаграммы, не имеющие вакуумных поддиаграмм.

Правила Фейнмана в импульсном пространстве выглядят более просто. Запишем фурье-образ G функции Грина

т. е.

В нашем рассмотрении все — входящие импульсы. В силу трансляционной инвариантности полный импульс сохраняется, т. е. это означает, что G имеет следующий вид:

Для простоты мы обозначим функцию Грина одним и тем же символом в и -пространствах. Чтобы вычислить G по формулам (6 19) и (6 20), необходимо выполнить интегрирование по всем пространственно-временным точкам х и у. Испопыуя фурье-преобразование элементарного спаривания (6 16), после интегрирования по х, мы получаем, что каждая внешняя линия дает вклад . Остаются интегралы по координатам которые представляют собой импульсы, отвечающие внутренним линиям Исследуем теперь вклады, определенные данной конфигурацией линий и вершин при фиксированных внутренних импульсах и заданных внешних конфигурационных аргументах Любая перестановка координат внутренних вершин приводит к одному и тому же вкладу Однако не все перестановок у с необходимостью порождают в конфигурационном пространстве топологически различные диаграммы. Если бы это было так, мы получили бы множитель компенсирующий множитель в выражении (6.19) В некоторых диаграммах две вершины (или более) могут играть одинаковую роль (этот случай показан на рис 6 3, где такими вершинами являются ). Если вершин разбить на группы из

вершин, играющих одну и ту же роль , то интегрирование по у дает фактор вырождения . В выражении (6.19) он приводит лишь к частичной компенсации множителя и сохраняет вершинный фактор симметрии который умножается на фактор симметрии линий, рассмотренный выше. Например, в импульсном пространстве диаграмма, приведенная на рис. 6.3, а, имеет общий фактор симметрии

Наконец, каждый интеграл по у имеет вид

где обозначает сумму всех внешних или внутренних импульсов, входящих в вершину Таким образом, сохранение полного импульса есть следствие сохранения импульса в каждой вершине.

Теперь можно сформулировать правила Фейнмана для функции Грина в импульсном пространстве.

1. Нарисовать все топологически различные диаграммы с внешними линиями, соответствующими входящим импульсам и не имеющими вакуумных поддиаграмм. Внутренние линии каждой диаграммы обозначаются через . В скалярной теории со взаимодействием без производных выбор ориентации внутренних линий несуществен.

2. Внешней линии с номером сопоставить множитель

3. Внутренней линии с номером I сопоставить множитель

4. Каждой вершине сопоставить множитель , где — сумма всех импульсов, входящих в вершину.

5. Произведение всех этих вкладов проинтегрировать по переменным k и полученное выражение разделить на фактор симметрии внутренних линий и вершин рассматриваемой диаграммы.

6. Вычислить сумму вкладов всех топологически различных диаграмм.

Вообще говоря, если V — число вершин (обозначенное выше через ), а — число внутренних линий, после того, как мы выделили условие сохранения полного импульса остается условий сохранения и, следовательно, не более нетривиальных интегрирований.

В случае когда в диаграммах некоторые внешние линии совсем не связаны с вершинами, правила Фейнмана нужно несколько изменить. Например, отдельный пропагатор, показанный на рис. 6.4, в конфигурационном пространстве дает вклад

а в импульсном пространстве

Проиллюстрируем эти правила в низшем порядке теории возмущений для двух- и четырехточечной функций Грина.

РИС. 6.4. Диаграммы с короткозамкнутым пропагагором. а — в конфигурационном пространстве; б — в импульсном пространстве.

РИС. 6.5. Вклады низших порядков в двухточечную функцию в импульсном пространстве.

После отделения -функции, отвечающей сохранению полного импульса, вклады диаграмм в двухточечную функцию , представленные на рис. 6.5, запишутся в виде

Аналогично вклады диаграмм, представленные на рис. 6.6, в

РИС. 6.6. Вклады низшего порядка в четырехточечную функцию.

(причем ) равны:

г) и д) те же вклады, что и в случае (в), но с заменой соответственно.

При расчетах соответствующих элементов -матрицы внешние пропагаторы в точности компенсируются оператором (), входящим в редукционные формулы (5.28). При этом последующее интегрирование по х, отождествляет входящий импульс функции Грина, определяемой выражением (6 20), с физическим импульсом элемента -матрицы, лежащим на массовой поверхности. Следовательно, чтобы получить вклад данной диаграммы Фейнмана в -магрицу, необходимо опустить внешние пропагаторы и считать, что все внешние импульсы лежат на массовой поверхности Как мы увидим позже, это правило должно быть дополнено перенормировками массы и волновой функции.

В случае несвязной диаграммы в функцию Грина G входят -функции, выражающие сохранение частичных сумм внешних импульсов. В гл. 5 связные функции Грина определяются

рекурсивным выражением

где и начальным условием (для теории ). Диаграммы, не имеющие вакуумных поддиаграмм, входящих в разложение являются (топологически) связными. Покажем по индукции, что в дают вклад только связные диаграммы Предположим, что это справедливо для -точечной функции Грина и перепишем выражение (6 22) в виде

Подставляя сюда диаграммные разложения функции и каждой функции входящей в сумму в правой части, мы видим, что вклад каждой несвязной диаграммы в можно отождествить с некоторым членом суммы и наоборот. Отсюда следует, что алгебраическое определение связности [выражение (6.22)] можно отождествить с ее топологическим определением.

РИС. 6.7. Диаграмма «головастик».

Вернемся к обсуждению роли нормального упорядочения в лагранжиане взаимодействия (6.14а). Если бы мы сохранили обычное произведение полей в лагранжиане то появились бы новые диаграммы, а именно диаграммы, содержащие спаривания полей, относящихся к одной и той же вершине. Например, в двухточечной функции Грина появилась бы диаграмма типа «головастик», изображенная на рис некоторых случаях оказывается более удобным сохранять обычное произведение и включать в рассмотрение «головастики» Это имеет место, например, когда мы хотим произвести над полями локальные неоднородные преобразования (скажем, трансляцию), сохраняя при этом также какие-либо свойства симметрии. Для теории переход от одного упорядочения к другому приводит просто к изменению массового члена Это изменение в действительности оказывается бесконечным, но, как мы скоро увидим, его можно включить в перенормировку массы.

Теперь, после того как мы сформулировали правила Фейнмана для самодействующего скалярного поля, можно решить ту же задачу для более сложных и физически более интересных теорий, а именно для спинорной и скалярной квантовой электродинамики. Остальные случаи, включая поля с внутренними симметриями, мы рассмотрим в следующих главах В любом случае общий метод получения правил Фейнмана очевиден. Однако следует заметить, что в некоторых сомнительных ситуациях, в частности, когда неясно значение фактора симметрии, может оказаться, что целесообразно вернуться к исходной точке, т. е. к выражению (6.10) и теореме Вика.