3.4.4. Заключение

Теперь мы можем суммировать различные трансформационные свойства квадратичных форм относительно дискретных симметрий в случае поля Дирака. Определим эти формы в соответствии с

их тензорным характером:

    (3.198)

В последнем равенстве множитель i выбран для того, чтобы обеспечить эрмитовость. Символ А для обозначения псевдовекторного (или «аксиального» векторного) тока (см. ниже) общепринят, и его не следует путать с векторным потенциалом. Используя результаты, приведенные в предыдущих разделах, и учитывая, что поле антикоммутативно, а оператор является антиунитарным, составим следующую таблицу:

В данной таблице каждый элемент представляет собой результат действия оператора на соответствующую плотнойъ; например, Кроме того, в ней имеется строка, в которой представлена комбинированная антиунитарная операция Соответствующие законы преобразования электромагнитного векторного потенциала записываются в виде

    (3.200)

Мы видим, что выражение

ведет себя как скалярная плотность . Наконец, свойства псевдовекторного тока и псевдоскалярной плотности

относительно преобразования четности оправдывают их названия. Заметим, что в приведенной выше таблице отсутствует произвол в выборе фазы.

В этом разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся дискретные симметрии и построили соответствующие унитарные (или антиунитарные) операторы для фундаментальных свободных полей. Необходимость такой конструкции очевидна, так как только в этом случае мы можем быть уверены, что преобразованные состояния действительно существуют. Проблему инвариантности при учете взаимодействия придется решать отдельно Для этого необходимо проверить, выполняется ли соотношение При рассмотрении взаимодействующих полей мы попытаемся определить операторы симметрии, действующие на состояния и поля в соответствии с вышеприведенными правилами. Таким образом, нам надо ответить на вопрос: выполняется ли инвариантность для взаимодействующих систем?

Фундаментальное свойство локальной квантовой теории, впервые установленное Паули, Зумино и Швингером, гласит, что в любом случае теория инвариантна относительно Это и есть знаменитая СРГ-теорема. Мы приведем здесь схему доказательства, ограничиваясь случаем лагранжевой теории поля. Читатель, интересующийся строгим доказательством, может обратиться к работам, приведенным в примечаниях в конце главы. Пусть локальная квантозая теория поля описывается принципом минимального действия с эрмитовым лоренц-инвариантным лагранжианом. Последний является комбинацией локальных скалярных плотностей, записанных через основные поля, которые в конечном счете являются нормально упорядоченными. При квантовании учитывается связь между спином и статистикой. Далее, согласно СРТ-теореме, если даже инвариантность относительно Р, С и Т по отдельности и отсутствует, выполняется инвариантность относительно их комбинации. В частности, это означает существование античастиц в случае заряженных полей (причем с теми же массами и спинами, что и у соответствующих им частиц) . В случае нейтральных полей мы имеем тождественность частицы и античастицы. Иными словами, мы хотим показать, что лагранжиан

ведет себя относительно как нейтральное скалярное поле:

    (3.201)

Следует заметить, что для скалярного поля вообще справедливо соотношение

    (3.202)

Когда выполняется операция (3.201), действие остается инвариантным. Мы ограничимся здесь рассмотрением лагранжиана, зависящего лишь от скалярного , векторного и спинорного полей, имеющих, возможно, внутренние индексы. Теорема остается справедливой и для полей с более высокими значениями спина. Очевидно, что можно построить, используя величины и только эрмитовы скалярные поля, причем в случае необходимости заряженные поля следует объединить в эрмитовы комбинации Таким образом, действие оператора 0 сводится к следующему:

1) оно заменяет аргументы полей на —

2) вследствие этого производные меняют знак, т. е.

3) векторное поле получает дополнительный знак минус, т. е. ведет себя как градиент скалярного поля;

4) любая квадратичная форма приобретает знак где Р — число лоренцевых индексов при -матрицах или производных [это следует из таблицы (3.199) и пункта 2];

5) заменяет константы на их комплексно-сопряженные.

Поскольку S — скалярная функция, в мономиальном разложении каждый член получается сворачиванием четного числа индексов Лоренца. Знаки минус, происходящие от векторных полей, производных и квадратичных форм по взаимно уничтожаются. В конечном счете вместо мы получаем поскольку при нормальном упорядочении порядок операторов не играет роли, так как векторные и калярные поля коммутируют, а антикоммутативность полей уже учтена в таблице (3.199). В результате получаем, что, если вакуум инвариантен относительно инвариантной будет и динамика.

Интересно доказать инвариантность относшельно коммутанионных соотношений при совпадающих временах. Здесь имеется некоторая тонкость, так как взаимодействия могут изменить выражение для сопряженных переменных, например при электромагнитных взаимодействиях заряженных бозонов и в любом случае, когда в лагранжиан X взаимодействия входят производные. Можно также показать, что плотность гамильтониана ведет себя как

и, следовательно

В нашем доказательстве игнорируются трудности, связанные с построением теории взаимодействующих полей. Последняя должна придать точный смысл произведениям операторов, которые нельзя определить иначе. Тем не менее алгебраические свойства, вытекающие из СРТ-теоремы, при этом не нарушаются.

В качестве приложения рассмотрим формфакторы, представляющие собой релятивистское обобщение распределения зарядов. Рассмотрим сначала в свободной теории Дирака матричные элементы тока между одночастичными состояниями

Греческие индексы обозначают поляризации

Мы не выписали явно члены, дающие нулевой вклад в матричный элемент. Из равенства

следует, что

Это согласуется с определением заряда:

Напомним, что нормировано на бар .

Предположим теперь, — эрмитова четырехвекторная плотность тока, имеющая те же трансформационные свойства относительно дискретных симметрий, что и и запишем общую структуру ее одночастичного матричного элемента

В дальнейшем мы всегда будем подразумевать, что числовая матрица располагается между двумя спинорами и . Вследствие лоренц-ковариантности матрица должна подчиняться условию

а вследствие эрмитовости мы имеем

Из того факта, что спиноры удовлетворяют свободному уравнению Дирака, следует возможность замены любой матрицы на

а также тождество Гордона

Кроме того, потребуем, чтобы сохранялся ток

Таким образом, получаем . Обозначим через символ q пространственно-подобную разность поскольку единственным скалярным инвариантом является Исходя из наиболее общего разложения матрицы в базисе 16 матриц Дирака и учитывая лоренц-инвари-антность, законы сохранения и эрмитовость, находим

    (3.203)

здесь вещественные формфакторы представляют собой функции квадрата передаваемого импульса Квантуя спин вдоль некоторой фиксированной оси, из уравнений (3.178) и таблицы (3.199) получаем, что в силу симметрии относительно пространственной четности справедливо равенство

Поскольку из этого равенства следует, что откуда получаем . Таким образом, одно только сохранение четности дает Однако четность может нарушаться некоторыми взаимодействиями (в действительности — слабыми взаимодействиями).

Долюе время считалось, что произведение четности на зарядовое сопряжение является симметрией всех взаимодействий. Из СРГ-теоремы следует тогда, что Т также представляет собой симметрию. Отсюда мы приходим к равенству в котором Вследствие условия эрмитовосги функции F вещественны. Таким образом, мы опять получаем . Однако после того, как Фитч и Кронин обнаружили нарушение Т четности в распадах нейтральных К-мезонов мы не можем утверждать, что она представляет собой симметрию всех взаимодействий.

Предположим, например, что это электромагнитный ток в теории взаимодействующих полей. Рассматривая два нормированных состояния, близких к состоянию покоя, читатель может без труда показать, что справедливо следующее соответствие:

Детальные измерения нуклонных формфакторов были выполнены с использованием рассеяния электронов на водородной и дейтериевой мишенях. Для этого случая и сейчас известны в широком диапазоне значений Формфактор однако, до сих пор не обнаружен. В частности, имеются сообщения (Рамсей) об ограничениях на величину статического электрического

дипольного момента нейтрона, а именно см. Значение этого электрического дипольного момента является чувствительным местом механизма нарушения CP-инвариантности

Полное гиромагнитное отношение заряженной частицы равно Например, для протона (при условии ) и следовательно, его гиромагнитное отношение равно 5,58. В литературе часто употребляются комбинации Закса которые более удобны для описания данных по рассеянию Эти формфчкторы можно аналитически продолжить на положительные (времени-подобные) значения где они соответствуют процессу фотон-фермион-антифермион.

В случае скалярных (или псевдоскалярных) частиц соответствующий матричный элемент тока записывается в виде

    (3.204)

Мы завершаем этот раздел алгебраическим упражнением над произведениями четырех полей Дирака, объединенных в ковариантные скалярные плотности. Эти произведения входят, например, в эффективный лагранжиан Ферми для слабых взаимодействий при низких энергиях Наша цель — показать, к каким следствиям может лрипести изменение порядка, в котором эти поля объединяются в лоренцев скаляр. При этом исходные квадратичные блоки совпадают с величинами, входящими в таблицу (3.199). Результат такого анализа составляет содержание теоремы Фирца. Пусть обозначает какую-либо из 16 матриц Дирака

    (3.205)

Положим и заметим, что так что формы эрмитовы. В этих обозначениях

    (3.206)

Для любой из 4X4 матриц X справедливо разложение

Сопоставляя коэффициенты при находим следующее тождество, в котором латинские индексы пробегают значения от 1 до 4:

    (3.207)

Применяя это к имеем

    (3.208)

Записывая где нетрудно заметить, что величина не меняется при циклической перестановке индексов и что, если заданы значения двух индексов, она не равна нулю лишь при одном значении третьего индекса. Отличные от нуля члены таковы:

и

    (3.209)

Рассмотрим пять лоренцевых скаляров:

Здесь и (1) обозначает спинор с импульсом и поляризацией Мы будем применять символ для описания того, каким образом свертываются индексы Дирака; аналогичное обозначение используется для других амплитуд. Любую из амплитуд можно записать в виде

Как связаны эти величины с соответствующими им величинами, в которых 4 свертывается с 1, а 3 с 2? Теорема гласит, что существует числовая -матрица F, связывающая два набора величин. Эта матрица с необходимостью равна своей обратной. Прежде чем продвинуться дальше, заметим, что можно было бы задаться подобным вопросом в пространстве операторов типа Вследствие антикоммутативности полей Ферми соответствующей матрицей была бы тогда —f. В любой из пяти величин

можно использовать уравнение (3.207) и записать

Таким образом, с помощью (3.208) получим

Остается использовать (3.209), чтобы получить искомый результат:

Читатель может проверить, что и диагонализовать матрицу, а также рассмотреть поведение различных амплитуд относительно дискретных симметрий.