6.2.2. Усеченные и сильносвязные диаграммы

Введем здесь терминологию, которая окажется полезной в дальнейшем.

Определим усеченные функции как функции Грина в импульсном пространстве (без учета -функции от полной энергии-импульса), умноженные на обратные двухточечные функции, отнесенные к каждой внешней линии:

Двухточечная функция здесь является полным пропагатором. Для имеем , где Z — константа перенормировки волновой функции, введенная в гл. 5.

РИС. 6.23. а — неусеченная диаграмма; б — усеченная, но не сильносвязная диаграмма; в — сильносвязная диаграмма. В случаях внешним линиям не сопоставляется какой-либо фактор.

Следовательно, с точностью до степеней величины Z эти усеченные функции на массовых поверхностях совпадают с величинами, входящими в редукционные формулы. Например, связная часть матричного элемента в выражении (5,28) записывается в виде

Разложение усеченных функций по теории возмущений можно записать с помощью усеченных диаграмм, т. е. таких, которые не имеют собственно-энергетических частей на внешних линиях Кроме того, здесь, согласно правилам Фейнмана, внешним линиям не сопоставляются какие-либо множители или пропагаторы (см. рис. 6.23). Наконец, если мы восстановим степени постоянной как в разд. 6.2.1, то окажется, что усеченным диаграммам с L петлями соответствует множитель

В заключение определим сильносвязные, или одночастично неприводимые, диаграммы. Это усеченные связные диаграммы, которые остаются связными при удалении из них любой внутренней линии (рис. 6 23).

Сильносвязные функции, определенные на основе разложения теории возмущений по сильносвязным диаграммам, являются строительными блоками теории возмущений, поскольку интегрирование по внутренним импульсам может быть выполнено независимо в каждой сильносвязной поддиаграмме данной диаграммы. По той же причине сильносвязные функции играют центральную роль в программе перенормировок (см. главу 8 в т. 2 настоящей книги), поскольку для того, чтобы избавиться от всех ультрафиолетовых расходимостей, необходимо и достаточно сделать эти функции конечными.

Помимо этого топологического определения сильносвязным функциям можно дать и алгебраическое определение. Как показал Иона-Лазинио, производящий функционал для сильносвязных вершин представляет собой преобразование Лежандра производящего функционала для связных диаграмм. Последний, обозначаемый был определен в гл. 5 как логарифм производящего функционала всех функций Грина:

    (6.71а)

В разд. 6.1 мы показали, что он действительно соответствует связным фейнмановским диаграммам, причем

Построим теперь преобразование Лежандра функционала следующим образом. Пусть представляет собой функционал j, определяемый выражением

Предположим, что соотношение можно обратить, т. е. записать в виде Это возможно по крайней мере как формальное разложение, при условии что которое означает, что одноточечная функция равна нулю, и . В дальнейшем мы будем считать, что эти условия выполнены. Индекс с в подставлен с целью напоминания,

что - обычная с-числовая функция и ее не следует путать с квантованным полем

Определим функционал выражением

Коэффициент введен здесь для удобства последующего рассмотрения Дифференцируя выражение (6 73) по получаем

В силу соотношения (6.72) первый член в правой часги равен нулю и, следовательно,

Как хорошо известно из классической механики или термодинамики, в подобных случаях преобразование Лежандра является инволютивным Следует также заметить, что можно рассматривать как значение функционала (здесь j и незагисимы) в его стационарной точке по

Нам нужно показать, что является производящим функционалом для сильносвязных функций

Дифференцируя соотношение (6.72) по ), получаем

здесь последнее выражение мы записали, используя (6.74) Следовательно, ядро является величиной, обратной по отношению к . Положим теперь в соответствии с предположением, что Из тождества (6.76) следует, что связная двуточечная функция является обратной (в смысле свертки) по отношению к функции Вследствие свойства трансляционной инвариантности величина зависит только от разности и, следовательно,

В импульсном пространстве это равенство записывается в виде

где фурье-образ величины Г определяется аналогично выражениям (6 20) и (6.21).

РИС. 6.24. Графическое представление соотношения (6.79) Незаштрихованный кружок отвечает полному пропагатору (р), а заштрихованные сильно-связной собственноэнергетической части

Перейдем к более экономным обозначениям двухточечных функций, т. е. . Если написать первую в виде

где — собственная энергия, то получим

Теперь двухточечную функцию (6.78) можно разложить (рис, 6.24) следующим образом:

Отсюда следует, что — является одночастично неприводимым вкладом в двухточечную функцию, полученным по теории возмущений. Функция находится добавлением к вклада нулевого порядка

Интерпреицию функций высших порядков как одночасгично неприводимых сильносвяшых функций можно установить, если выполнить последовательные дифференцирования основного тождества (6 76) при Например, после еще одного дифференцирования (6.76) по получаем (рис. 6.25)

и используя (6 77), находим

Таким образом, является усеченной функцией (или одночастично неприводимой функцией; в случае трехточечной функции это одно и то же).

РИС. 6.25. Графическое представление выражения (6.80) и аналогичной формулы для четырехточечной функции. Как и на рис. 6.24, незаштрихованные кружки соответствуют связным функциям , а заштрихованные — сильно-связным функциям

Читатель может продолжить это рассмотрение и убедиться в том, что функции высших порядков действительно являются одночастично неприводимыми.

Функционал можно записать еще проще, а именно как и решить совместно уравнения (6.74) и (6.72):

Используя соотношение (6.77), получаем

Смысл этого тождества наиболее ясно проявляется в графическом представлении, данном на рис. 6.26 Любая связная диаграмма либо дает вклад в двухточечную функцию либо имеет древесную структуру, которую образуют обобщенные вершины соединяющиеся полными пропагаторами . С другой стороны, известно, что любая связная диаграмма может быть разложена на одночастично неприводимые поддиаграммы. Чтобы отождествить последние с необходимо убедиться в том, что все диаграммы появляются t правильным коэффициентом. Это достигается прямым подсчетом.

Мы продолжим рассмотрение этих замечательных тождеств в гл. 9 (см. т. 2 настоящей книги), где будет разработан метод континуального интегрирования. Следует также подчеркнуть, что в дальнейшем преобразования Лежандра можно будет использовать аналогичным образом для определения двухчастично неприводимых ядер и т. п.

Из этого обсуждения становится ясно, что в наинизшем порядке (т. е. для древесных диаграмм) сводится к

(Множитель восстановлен здесь согласно установленному выше правилу.)

РИС. 6.26. Графическое представление тождества (6.81). Обозначения те же самые, что на рис. 6.24 и 6.25; черный кружок соответствует производящему функционалу ).

Действительно, в низшем порядке сильносвязная двухточечная функция дается выражением

следовательно, ее вклад в равен

в то время как последующие в том же порядке сводятся к исходным вершинам лагранжиана.

Важная роль функционала состоит в том, что он обобщает понятие классического действия на случай высших порядков; часто называют эффективным действием Этот функционал играет важную роль при обсуждении стабильных конфигураций основных полей, например при изучении спонтанного нарушения симметрии, как мы увидим в гл. 11 (см. т. 2 настоящей книги).

Проведенное выше рассмотрение можно обобщить на другие типы скалярных полей, или на поля с ненулевым спином. Для полуцелых спинов нам пришлось бы воспользоваться антикоммутирующими источниками (см разд. 4.2.2); этой алгебре антикоммутационных соотношений должно подчиняться также «классическое» поле представляющее собой аналог поля Операции с такими антикоммутирующими функциями требуют осторожности, однако и в этом случае преобразование Лежандра дает производящий функционал для сильносвязных вершин.