Глава 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В настоящей главе будет установлена связь между измеряемыми на опыте сечениями рассеяния и динамической картиной, которую дает теория поля, опирающаяся на аппарат функций Грина и редукционный формализм Лемана, Симанзика и Циммермана Результаты иллюстрируются простыми примерами электромагнитных процессов низшего порядка Будут сформулированы общие требования унитарности и причинности, которые затем исполь зуются для построения разложений по парциальным волнам и установления дисперсионных соотношений

5.1. S-МАТРИЦА И АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Нам необходимо завершить изучение вопросов кинематики, прежде чем мы перейдем к вычислению амплитуд переходов на основе теории возмущений В настоящей главе мы изложим общие правила, которые позволят связать эти вычисления с физическими процессами

В реальных экспериментах основным средством исследования является рассеяние частиц на различных мишенях В макроско пической шкале характерное время таких взаимодействий чрез вычайно мало Поэтому невозможно проследить за деталями временной эволюции системы в течение элементарных актов взаимо действия Единственное, что мы можем сделать, — это восполь зоваться следующей картиной Для времени, очень далекого от момента столкновения, будем считать, что хорошо разделенные волновые пакеты свободны и развиваются во времени независимо друг от друга В гл 4 на конкретных примерах было показано, что совокупность этих входящих состяний образует пространство Фока, т. е. пространство in векторов соответствующих свободных полей Следует заметить, что эти in-состояния должны в точности соответствовать индивидуальным характеристикам изолиро ванных частиц, таким, как масса и заряд Иными словами, эти измеряемые параметры должны поглотить эффекты самодействия Затем имеет место процесс столкновения, при котором может происходить рассеяние, поглощение или рождение новых частиц, тот процесс подчиняемся фундаментальным законам сохранения

энергии, импульса, углового момента, четности, зарядовой четности, внутренних симметрий и т. д. По истечении большого времени после столкновения волновые пакеты снова разделяются, становятся свободными, они описывают теперь выходящие состояния Они снова подчиняются правилам кинематики свободных частиц и соответствуют свободным полям. Согласно постулатам квантовой механики, амплитуда

позволяет нам получить вероятность того, что входящее состоя ние в результате временной эволюции перейдет в состояние

Выходящие состояния могут играть роль входящих для последующею процесса Пример тому — приготовление вторичных пучков Следовательно, между -пространствами состояний Фока должен существовать изоморфизм Наша цель состоит в том, чтобы связать вышеупомянутые амплитуды переходов с реальными измерениями Иными словами, мы хотим установить релятивистскую формулировку золотого правила Ферми и дать выражение для сечений рассеяния

5.1.1. Сечения рассеяния

Рассмотрим сначала простой пример рассеяния двух различных бесспиновых частиц Выразим начальное состояние через падающие волновые пакеты в импульсном пространстве . С этими волновыми пакетами связаны решения , соответствующие положительным энергиям уравнения Клейна — Гордона с определенной массой

Поток имеет вид

Вероятность перехода в конечное состояние дается выражением

В отсутствие внешних источников трансляционная инвариантность приводит к тому, что такие матричные элементы обращаются в

нуль, если энергия и импульс не сохраняются. Кроме того, как показано в гл. 4, предположение об изоморфизме между out- и in-состояниями подразумевает существование унитарного оператора S, называемого обычно -матрицей, такого, что

Свойство унитарности S необходимо, чтобы сохранить вероятности Строго говоря, S преобразует out-состояния в in-состояния в соответствии с (5 5). Поэтому можно говорить, что мы берем эти матричные элементы в in-пространстве, и, если нет особой нужды, будем опускать приставку in. Тогда S-матрицу можно представить следующим образом:

где Т описывает эффект взаимодействия. Если конечное состояние представляет собой плоскую волну, то можно выделить -функцию, выражающую закон сохранения энергии-импульса, так что

здесь приведенный оператор действует на энергетической поверхности Подставляя выражение (5.6) в матричный элемент (5.5), мы видим, что единичная матрица дает вклад только в рассеяние вперед и описывает часть падающего волнового пакета, которая не изменяется взаимодействием. В большинстве экспериментов нас интересует только рассеянная часть пакета. Поэтому мы рассматриваем лишь вклад S в вероятность перехода

Если конечное состояние не является определенным собственным состоянием импульса, приведенная выше формула должна быть обобщена очевидным образом. В большинстве случаев приготавливают начальные частицы с почти хорошо определенными импульсами, т. е. с пренебрежимо малыми ширинами в масштабах изменений матричных элементов . Короче говоря, имеет острый максимум вблизи среднего значения с шириной так что

Используя это приближение и интегральное представление

находим

Эту величину можно интерпретировать как вероятность перехода в единицу времени в единичном объеме:

В формулах (5.9) и (5.10) , причем — медленно меняющаяся функция переменной х, такая, что мы можем написать

Для определенности предположим, что в лабораторной системе координат часшцы типа 1 падают на частицы типа 2, находящиеся в покое Число частиц в единице мишени равно . Падающий поток задается произведением скорости на плотность и равен .

Это приводит к следующей интерпретации соотношения (5.10): — вероятность перехода из состояния в состояние за единицу времени в единице объема

Сечение рассеяния лредставляет собой вероятность перехода на одном рассеивателе в мишени при единичном падающем потоке Выражение (5 12) отвечает идеализированному конечному состоянию с определенным импульсом Его следует заменить на более правильное выражение, интегрируя по энергии и импульсу в облает А, соответствующей точности измерения этих величин. Например, в случае, когда имеется различных бесспнновых частиц в конечном состоянии (рис 5.1), сечение дается выражением

Здесь фактор выражен через релятивистские инварианты

и учтено, что в лабораторной системе

Таким образом мы определили сечение как лоренц-инвариантное понятие. Напомним читателю, что для бозонов обозначает лоренц-инвариантную меру

РИС. 5.1. Кинематика процесса рассеяния в общем случае

Разумеется, в этих формулах предполагается, что одночастичные состояния нормированы согласно условию

которое означает, что они образованы в результате действия на состояние вакуума каноническими операторами рождения. Эта нормировка позволяет записать плотности потока через волновые функции

При рассмотрении массивных фермионов множитель будем заменять на Например, если две сталкивающиеся частицы являются фермионами, в выражении (5.13) множитель 1/4 заменяется на , а если фермионы имеются среди частиц в конечном состоянии, под элементом фазового пространства понимается величина Однако, если фермионы, участвующие в процессе рассеяния, имеют нулевую массу, факторы фазового пространства совпадают по виду с бозонными.

Читателю предлагается найти модификации выражения (5.13), когда некоторые из частиц являются тождественными и (или) имеют спин Как бьть, (если начальное состояние не является чистым состоянием и должно описываться с помощью поляризационной матрицы плотности? Выше мы установили связь между инвариантной амплитудой перехода и сечением рассеяния Еще один физически важный пример — вычисление скорости распада нестабильной составной системы. В разд. 5.2.3. мы проиллюстрируем этот пример при изучении позитрония.