3.3. ПОЛЕ ДИРАКА И ПРИНЦИП ЗАПРЕТА

В предыдущей главе мы уже ввели частицы Дирака и представили соображения, согласно которым эти частицы следует описывать в рамках теории многих тел. Каноническое квантование проводилось до сих пор для частиц Бозе—Эйнштейна, однако эксперименты показывают, что частицы со спином 1/2, такие, как электроны и нуклоны, удовлетворяют принципу Паули и подчиняются статистике Ферми—Дирака. Таким образом, при рассмотрении частиц с полуцелым спином нам придется изменить правила игры.

3.3.1. Антикоммутаторы

Уравнение Дирака следует рассматривать на тех же основаниях, что и уравнения Максвелла. И те и другие являются классическими уравнениями поля. Следовательно, нам нужно ввести лагранжиан и сопряженные импульсы для комплексных полей и (или

. В случае свободного поля уравнения

    (3.151)

получают вариацией действия, используя в качестве плотности лагранжиан, в который производные входят линейно:

    (3-152)

Мы имеем следующее уравнение для

Аналогичное уравнение получается, когда используется вариация по Если удовлетворяют уравнениям поля, то лагранжиан (3.152) обращается в нуль. Поскольку каноническое квантование неприемлемо в данном случае, применим следующую процедуру. Предположим, что и - квантованные операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве. Выясним, при каких условиях генераторы группы Пуанкаре, построенные в соответствии с теоремой Нётер, преобразуют поля согласно законам преобразования, рассмотренным в гл. 2. Так как эти генераторы, а также наблюдаемые величины выражаются через динамические переменные это обеспечит ковариантность теории; мы затем докажем, что эти наблюдаемые коммутируют в случае пространственно-подобных интервалов.

Используя уравнения движения, из (3.152) можно получить следующее выражение для плотности тензора энергии-импульса:

Поскольку у нас нет какого-либо рецепта, мы упорядочили это выражение произвольно, помещая слева от Ясно, что мы действовали эвристически. При этом тензор не является симметричным. Исследуем поэтому обобщенную плотность углового момента, последовательно учитывая внутренние переменные (т е. спинорные индексы). Рассмотрим инфинитезимальное однородное преобразование Лоренца, при действии которого мы должны иметь

Оператор действует как на спинорные индексы, так и на пространственные переменные. Следовательно,

здесь

Если не зависит от х, мы убеждаемся, что действие инвариантно. Если же изменяются в зависимости от х, мы получаем следующую вариацию около стационарной точки:

Следовательно, предполагаемая обобщенная плотность тензора углового момента имеет вид

    (3.155)

Можно проверить непосредственно, что . Этот тензор имеет как орбитальную, так и спиновую части. В приведенном выражении играют одинаковую роль. Интегралы по пространству от величин дадут квантовые генераторы группы, когда мы найдем коммутационные соотношения для полей. Кроме того, инвариантность относительно фазового преобразования приводит к сохраняющемуся току

    (3.156)

который использовался в одночастичной теории, рассмотренной в гл. 2, для нормировки состояний при интегрировании величины . В случае квантованной картины необходимо дать более общее описание

Чтобы выполнить нашу программу, разложим операторы по с-числовым решениям уравнения Дирака в виде плоских волн, с операторно-значными амплитудами

Спиноры а и о мы определили в предыдущей главе [см. формулы (2.37) и (2.38)]. Операторы должны удовлетворять коммутационным соотношениям, таким, чтобы выполнялось следующее равенство:

что в дифференциальной форме записывается в виде

Используя разложения (3.157), запишем следующее выражение:

    (3.159)

из этого выражения необходимо вычесть вакуумный вклад. Из (3 159) следует, что если вакуум определен соотношениями и если бы мы квантовали, опираясь на коммутаторы, то -частицы и -частицы давали бы вклад в энергию с противоположными знаками. Теория не приводила бы к существованию устойчивого основного состояния.

Из (3 158) ридно, что трансляционная инвариантность выполняется при следующих условиях:

Подставляя сюда вместо его разложение (3.159), получаем эквивалентное соотношение

а также три аналогичных соотношения. Если предположить, что

это условие можно записать в виде

Следовательно, мы можем дать правильную интерпретацию операторам энергии и импульса, используя как альтернативу антикоммутаторы (фигурные скобки в последующем выражении) вместо коммутаторов между основными операторами рождения и уничтожения Поскольку после вычитания энергии вакуума остаются только положительные вклады в энергию, мы решили

также и проблему устойчивости, о которой шла речь выше. Следовательно, мы полагаем, что

а все остальные антикоммутаторы обращаются в нуль. Как следствие получаем антикоммутатор

    (3.162)

Нетрудно показать, что условия (3.160) выполняются, равно как и аналогичные им условия, вытекающие из требования ковариантности относительно однородных преобразований, которые включают коммутаторы генераторов с полем. Соотношения (3.160) можно истолковать следующим образом: создают [a уничтожают] -импульс

Произведения Вика можно обобщить на случай полей Ферми. При перестановке операторов рождения влево от операторов уничтожения необходимо ввести знак, соответствующий четности перестановки. Таким образом, правильное выражение для полной величины энергии-импульса имеет вид

Мы видим отсюда, что энергия квантового состояния является суммой положительных вкладов Займемся теперь изучением структуры соответствующего пространства Фока.