Глава 4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ВНЕШНИМ ПОЛЕМ

В настоящей главе мы рассматриваем простой пример динамической системы, а именно взаимодействие квантованных полей с внешним полем. Мы вводим здесь такие важные понятия, как представление взаимодействия и тождества Вика. Развитый формализм применяется затем при анализе излучения классического источника и инфракрасной катастрофы. В фермионном случае физическим аналогом этих явлений является процесс рождения пар под действием с-числового электромагнитного поля.

4.1. КВАНТОВАННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЕ С КЛАССИЧЕСКИМ ИСТОЧНИКОМ

4.1.1. Вероятности излучения

Рассмотрим сначала взаимодействие квантованного электромагнитного поля с каким-либо внешним источником. Возникающая здесь физическая проблема связана с описанием испускания или поглощения фотонов классическим сохраняющимся током

Задавая электромагнитное действие в виде

получаем следующее уравнение движения:

    (4.3)

При квантовании рассматриваемого поля, как и при квантовании свободного поля, имеется трудность, которую можно преодолеть, вводя в выражение для действия дополнительный член вида

В этой калибровке уравнение движения принимает вид

Операторы действуют в пространстве с индефинитной метрикой и удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и в случае свободного поля:

Если предположить, что решение уравнения (4.4) принадлежит тому же пространству Фока, в котором определено свободное поле, то связь между свободным и взаимодействующим полями является каноническим преобразованием. В квантовой механике в случае конечного числа степеней свободы эта связь была бы унитарным преобразованием. Однако при бесконечном числе степеней свободы ситуация может осложниться. Проиллюстрируем это на простой модели.

Пусть конечная квантовая система состоит из N частиц с полуцелыми спинами, расположенных в узлах трехмерной кубической решетки. Частицы могут обладать, например, магнитными моментами. Наблюдаемыми являются оиерашров , где — индекс . Состояния представляют собой линейные комбинации собственных векторов оператора и обозначаются следующим образом: Они порождаются действием оператора на состояние Рассмотрим операторы, полученные путем вращения:

Очевидно, что

Это означает, что операторы , которые генерируют одну и ту же алгебру, унитарно эквивалентны. Пусть обозначает новое основное состояние для операторов :

Нетрудно вычислить скалярное произведение Предположим, что в пределе гильбертово пространство состояний получается из основного состояния действием конечного числа операторов рождения и пополнением Коши. Мы можем совершить обратный поворот, преобразуя операторы а в , и определить состояние по аналогии с Попытаемся отыскать унитарное преобразование , которое

осуществляло бы этот поворот:

Очевидно, что, когда такого унитарного оператора не существует. В этом пределе любое скалярное произведение повернутого и неповернутого состояний обращается в нуль, например . Отсюда можно сделать следующий вывод: в случае бесконечного числа степеней свободы физически эквивалентные наблюдаемые, т. е. подчиняющиеся той же алгебре коммутационных соотношений и т. п., не являются с необходимостью унитарно эквивалентными. Это следует иметь в виду, рассматривая поля удовлетворяющие свободным коммутационным соотношениям (4.5).

Возвращаясь к уравнению поля (4,4), мы можем написать частное с-числовое решение

выраженное через некоторую функцию Грина оператора Д’Аламбера:

Следовательно, общее решение уравнения (4.4) запишется в виде:

где квантованное свободное поле Вид функции Грина определяется граничными условиями. Предположим, что ток был включен адиабатически на конечном интервале времени. Используя опережающую и запаздывающую функции Грина

можно записать

Свободные поля и описывают фотонное поле до и после его взаимодействия с током . Формально мы имеем

Точный математический смысл этих выражений зависит от вида источника j. Мы можем потребовать, чтобы данным соотношениям удовлетворяли хотя бы матричные элементы некоторого локального среднего этих полей между нормированными состояниями. Этот слабый предел целиком основывается на предположении об адиабатическом выключении источника при . В действительности это часто не реализуется, и поэтому соотношение (4.8) приходится принять с некоторой долей скептицизма.

Теория строится в заданном гильбертовом пространстве, например в пространстве Фока для падающих фотонов. При этом вакуум является состоянием, которое дает нуль при действии на него оператора . Наша задача состоит в том, чтобы найти каноническое преобразование, осуществляемое унитарным оператором S, который связывает и -поля:

а также и -состояния

Предположим, что при система находится в определенном состоянии, например в вакуумном, т. е. не содержит (физических) фотонов. Можно вычислить вероятность того, что конечное состояние содержит нуль, один, два и т. д. испущенных фотонов. Например, амплитуду вероятности того, что система остается в основном состоянии, можно записать в виде

Чтобы данное рассмотрение имело смысл, необходимо убедиться, что вероятность меньше единицы. Аналогичным образом можно вычислить значения вероятностей поляризации в конечном состоянии и угловые распределения. Следовательно, оператор содержит всю информацию о конечном состоянии.

Займемся теперь определением оператора S. Из выражения (4.7) имеем

Второй член в правой части этого выражения, несомненно, является решением однородного уравнения и представляет собой не что иное, как классическое поле излученное током [(см. (1.206)].

Комбинация уже встречалась в гл. 1 [см. (1.173)]:

С точностью до знака эта величина совпадает с коммутатором скалярных безмассовых свободных полей (3.56). Вследствие этого выражение (4.11) можно записать в виде

Это соотношение напоминает формулу (2.81):

Действительно, в правой части этой формулы лишь два первых члена отличны от нуля, поскольку А и В представляют собой в нашем случае свободные поля, коммутатор которых является с-числом. Следовательно, можно написать

Данное выражение удовлетворяет всем условиям, налагаемым на оператор S, включая условие унитарности в пространстве с индефинитной метрикой. Только с-числовая фаза, зависящая, возможно, от остается в S произвольной; однако этот произвол не оказывает влияния на физические величины.

Удобно переписать 5 в нормальной форме. Представим как сумму оператора уничтожения и оператора рождения Мы видим, что следовательно, физическое подпространство с положительной метрикой должно оставаться инвариантным относительно преобразования S. Коммутатор операторов является с-числовой функцией:

Следовательно, можно воспользоваться тождеством

которое справедливо при условии, что и записать S в нормальной форме:

Введем фурье-образ тока

Условие вещественности тока и закон его сохранения запишутся соответственно в виде

В выражении (4.16) показатель последней экспоненты равен

Как и предполагалось, вклад вносят только фурье-компоненты источника, соответствующие изотропным значениям аргумента: . В случае можно написать следующее разложение:

где — число, а — пространственно-подобный вектор, ортогональный k. Например, если мы вводим пространственно-подобные -векторы причем Далее можно выбрать где Используя такое разложение, нетрудно показать, что

Иными словами, лишь поперечные компоненты вносят вклад в последний член выражения (4.16):

Вероятности излучения выражаются через эти поперечные компоненты. В самом деле, для находим

Чтобы вычислить вероятность соответствующую излучению фотонов, ни импульсы, ни поляризации которых не измеряются, вспомним, что n-фотонное состояние определяется выражением

которое нормировано следующим образом

Сумма берется по всем перестановкам. Согласно статистике Бозе, оператор проектирования на -фотонные состояния имеет вид

Следовательно, нам нужно рассмотреть матричный элемент

Теперь мы имеем

Благодаря сохранению тока в сумму опять входят только поперечные степени свободы, если в оператор проектирования включить «продольные» и «скалярные» фотоны, то их вклады автоматически сократятся В выражении (4.23) член с операторами рождения вносит единственный вклад:

Множитель исчез, поскольку мы имели одинаковых членов. Вероятность равна

Вводя величину

получаем распределение Пуассона

Это распределение нормировано, т. е.

Тогда среднее число испущенных фотонов равно

Распределение Пауссона (4.27) отражает статистическую независимость последовательного испускания фотонов, которая видна также из факторизованной структуры матричного элемента (4.24). Изучим теперь свойства конечного состояния. Рассмотрим сначала вакуумное состояние при которое является собственным вектором оператора уничтожения :

Можно вместо временной эволюции состояния рассматривать эволюцию оператора; это дает

Здесь — положительно-частотная часть классического поля, входящая в выражение (4.11):

Следовательно,

Выражение (4.28) означает, что конечное состояние является когерентным (см. гл. 3). Это не противоречит распределению Пуассона для излучения. Действительно, между свойством состояния быть собственным состоянием оператора и статистической независимостью последовательных испусканий существует глубокая связь. В более широком смысле можно утверждать, что, если не учитывать квантовых флуктуаций, поле в конечном состоянии равно Этот факт и выражает равенство (4.30).