5.1.5. Связные части

В соотношении (5.28) не были включены некоторые несвязные части амплитуд переходов (но не все), но теперь с помощью выражения (5.38) их можно подробно изучить. Суть дела в том, что некоторые подсистемы частиц могут взаимодействовать в процессе столкновения независимо друг от друга. Поэтому еаественно искать такое определение связности, чтобы элемент -матрицы был суммой всех возможных произведений связных элементов, включающих подсистемы взаимодействующих частиц

Мы использовали сокращенное обозначение для совокупности индексов, . Связные матричные элементы определяются рекуррентно правой частью данного выражения, где сумма берется по всем разбиениям системы начальных и конечных частиц. Если 111 обозначает число элементов матрицы I, то можно определить величину:

    (5.41)

где . Аналогично

так что . Рекуррентные соотношения (5,40) можно теперь записать следующим образом:

Используя определение (5.39) для производящего функционала , можно написать

Сравнивая (5.43) и (5.44), мы можем естественным образом определить связные функции Грина с помощью функционала

Поскольку является оператором трансляции, комбинируя выражения (5.43) — (5.45), получаем соотношение

Перепишем эту формулу таким образом, чтобы был ясен ее смысл. Подобно тому как мы записываем функционал

где

определим величины с помощью разложения 00

Тогда смысл выражения (5.46) ясен из следующей формулы:

Если подставить сюда определение величины а и разложение (5.41), то в случае

мы получим основную редукционную формулу:

выражающую связные элементы -матрицы через связные функции Грина.

Сравнение с выражением (5.28) показывает, что несвязные члены, записанные в явном виде, исчезли. Дополнительные несвязные члены исчезли, когда G мы заменили на Напомним, что правильная нормироика функции требует деления правой часги выражения (5.50) на Мы не рассмотрели пока случай . В соответствии с (5,40) мы имеем

Кроме того, мы должны положить поскольку вакуумное среднее поля равно нулю. Используя представление Челлена — Лемана (5.17), двухточечную функцию Грина можно записать в виде

откуда видно, что зависит только от разности и ее фурье-образ имеет единственный полюс При Это означает, что

Таким образом, вклад в дает лишь первый член правой части выражения (5.49), и мы можем сразу убедиться, что отсюда следует соотношение (5.51). Даже если функция , в силу трансляционной инвариантности она не должна зависеть от поэтому отличается от самое большее на постоянную и, следовательно, проведенное выше рассуждение остается в силе. Читателю не составит особого труда показать, что

где . Таким образом, естественное определение связных элементов -матрицы привело нас к определению связных функций Грина, независимо от каких бы то ни было диаграммных ралложений. В гл. 6 мы обсудим этот вопрос более подробно. Следует замет что иногда удобно использовать определение Завершим этот раздел замечанием, что в процессе упругого рассеяния двух частиц разделение на связные части в точноаи соответствует разбиению и удержанию в амплитуде перехода, используемой для вычисления сечений рассеяния, только части Т.