2.4.2. Зарядовое сопряжение

Дырочная теория подразумевает существование удовлетворяющих одному и тому же уравнению электронов и позитронов, имеющих одинаковые массы, но противоположные заряды. Следовательно, уравнение Дирака должно отвечать новому виду симметрии, соответствующему замене частицы на античастицу. Найдем преобразование меняющее знак заряда на противоположный, т. е. такое, что

Потребуем, чтобы это преобразование было локальным и чтобы его двукратное применение сводилось к умножению на ненаблюдаемый фазовый множитель. Чтобы построить рассмотрим уравнение, сопряженное и транспонированное по отношению к первому из уравнений (2.96):

где любом представлении алгебры -матриц должна существовать матрица С, которая удовлетворяет соотношению

Например, в представлении (2.10) матрицу С можно записать в виде

    (2.97а)

Определим теперь следующим образом:

здесь — произвольный ненаблюдаемый фазовый множитель, который обычно выбирают равным единице. В рамках данного подхода зарядовое сопряжение является антилинейным преобразованием.

Это согласуется с дырочной интерпретацией, поскольку при вычислении вероятности перехода присутствие частицы в определенном состоянии будет описываться функцией а ее отсутствие-функцией Рассмотрим более подробно свойства зарядового сопряжения. Вычислим в случае, когда описывает покоящийся электрон в состоянии с отрицательной энергией и спином, направленным вниз. В отсутствие внешнего поля

Следовательно, состояние, получающееся при зарядовом сопряжении электрона с отрицательной энергией и спином, направленным вниз, эквивалентно электрону с положительной энергией и спином, направленным вверх.

Нам известно, что произвольное решение соответствующее энергии и импульсу , поляризованному вдоль направления , записывается в виде

где обозначает знак энергии. Поскольку в представлении Дирака С коммутирует с

т. е. описывается теми же самыми -векторами , но имеет обратный знак энергии. Используя обозначения (2.48), получаем

где фаза может зависеть от . Напомним, что оператор проектирует на спиновые состояния ±1/2 вдоль в соответствии со знаком энергии. Таким образом, при зарядовом сопряжении направление спина меняется на противоположное.

Кроме того, следует заметить, что при одновременном преобразовании спинора и потенциала А:

уравнение Дирака (2.96) не меняется.

При зарядовом сопряжении закон преобразования -вектора тока имеет вид

Мы могли бы наивно положить, что Однако в следующей главе будет показано, что следует рассматривать как антикоммутирующие операторы (статистика Ферми—Дирака). Таким образом, зарядовое сопряжение будет изменять знак гока и оставлять неизменной величину

В гл. 3, когда у нас уже будет удовлетворительная формулировка теории частиц и античастиц, мы изучим еще одну дискретную симметрию, а именно обращение времени.