Главная > Квантовая теория поля, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.5. ПРОПАГАТОР ДИРАКА

2.5.1. Свободный пропагатор

В гл. 1 мы ввели понятие функции Грина для классического скалярного поля. Обобщим это понятие на частицы со спином 1/2. Рассмотрим сначала движение свободной частицы.

Попытаемся выразить решение уравнения Дирака в момент времени через его значение в некоторый предшествующий момент времени Это возможно, поскольку мы имеем дело с уравнением первого порядка. Таким образом, мы ищем ядро такое, что

    (2.107)

Ниже мы обоснуем появление здесь величины Любое решение представляет собой суперпозицию решений в виде плоских волн:

С учетом соотношений (2.43) мы можем написать

Следовательно,

Изменяя порядок интегрирования, находим искомое ядро

    (2.108)

Следует заметить, что К зависит только от разности что является следствием трансляционной инвариантности свободного уравнения. Кроме того, можно использовать операторы проектирования определяемые выражениями (2.40) и (2.41), и переписать в более компактном виде:

    (2.109)

Обозначим это запаздывающее ядро Покажем непосредственно, что оно является функцией Грина для уравнения Дирака. Действуя на оператором , получаем

В правой части во втором члене можно заменить k на —k; тогда коэффициент при обращается в нуль и мы получаем

    (2.110)

Кроме того, можно записать через запаздывающую функцию Грина скалярного поля [см. выражение (1.169)]:

Уравнение (2.110) следует также из тождества (1.165), которому удовлетворяет G:

Из формулы

следует

Здесь мы сначала должны выполнить интегрирование по переменной вдоль контура, показанного на рис. 2.3 штриховой линией.

РИС. 2.3. Контур интегрирования, используемый при вычислении функций Грина. Штриховая линия соответствует запаздывающему пропагатору, а сплошная — пропагатору Фейнмана.

В теории дырок вводится другая функция Грина, а именно пропагатор Фейнмана, о котором мы уже упоминали в последнем разделе гл. 1. В теории квантованных полей этот пропагатор появляется естественным образом. Тем не менее мы рассмотрим здесь схематично те идеи, которые привели к нему Фейнмана и Штюкельберга.

Можно считать, что функция Грина описывает три последовательных этапа:

1. Появление электрона в точке

2. Перемещение электрона из точки в точку

3. Исчезновение электрона в точке

Если энергия электрона положительна, то этот процесс физически допустим при Если же энергия электрона отрицательна, то мы должны интерпретировать его исчезновение как появление позитрона, и наоборот. При этом второй этап следует рассматривать как распространение позитрона из точки в точку что имеет смысл только при Поэтому в теории дырок необходимо было бы построить функцию Грина, которая соответствовала бы распространению частицы с положительной энергией только при времени а частицы с отрицательной энергией (точнее позитрона) - только при

Постоянные а и b определяются из условия

Заметим, что здесь изменена нормировка по сравнению с (2.110). Непосредственное вычисление дает

Условие (2.111) удовлетворяется, если Таким образом, мы получаем следующий результат:

    (2.112)

Величины могут отличаться лишь на решение однородного уравнения Дирака. Это на самом деле так, в чем можно убедиться с помощью непосредственного вычисления

Ковариантное выражение для получим с помощью интегрального представления

Смысл предела будет понятен из нижеследующих выкладок Величины, которыми мы оперируем, являются обобщенными функциями, действующими на гладкие основные функции. После подстановки последнего выражения в (2.112) получаем

Положим в первом интеграле а во втором

Если e бесконечно малое положительное число, то можно написать следующее соотношение:

Окончательно получаем

Величина дает рецепт интегрирования по импульсному пространству Сначала интегрируем по вдоль контура, обозначенного сплошной линией на рис. 2-3, а затем производится интегрирование по . Считая, что комплексное число, т. е. мы имеем

Следовательно, мы можем записать преобразование Фурье величины в виде

    (2.114)

Запишем соотношение, связывающее с пропагатором Фейнмана скалярного поля (1.178):

    (2.115)

В заключение можно сказать, что пропагатор Фейнмана описывает распространение решений с положительными частотами

вперед по времени и распространение решений с отрицательными частотами в обратном направлении по времени.

Пусть — положительно-частотная и отрицательно-частотная части решения, заданные в моменты мени соответственно, причем произвольно. Пропагатор SF позволяет нам определить функцию в промежуточный момент времени

    (2.116)

1
Оглавление
email@scask.ru