2.5. ПРОПАГАТОР ДИРАКА

2.5.1. Свободный пропагатор

В гл. 1 мы ввели понятие функции Грина для классического скалярного поля. Обобщим это понятие на частицы со спином 1/2. Рассмотрим сначала движение свободной частицы.

Попытаемся выразить решение уравнения Дирака в момент времени через его значение в некоторый предшествующий момент времени Это возможно, поскольку мы имеем дело с уравнением первого порядка. Таким образом, мы ищем ядро такое, что

    (2.107)

Ниже мы обоснуем появление здесь величины Любое решение представляет собой суперпозицию решений в виде плоских волн:

С учетом соотношений (2.43) мы можем написать

Следовательно,

Изменяя порядок интегрирования, находим искомое ядро

    (2.108)

Следует заметить, что К зависит только от разности что является следствием трансляционной инвариантности свободного уравнения. Кроме того, можно использовать операторы проектирования определяемые выражениями (2.40) и (2.41), и переписать в более компактном виде:

    (2.109)

Обозначим это запаздывающее ядро Покажем непосредственно, что оно является функцией Грина для уравнения Дирака. Действуя на оператором , получаем

В правой части во втором члене можно заменить k на —k; тогда коэффициент при обращается в нуль и мы получаем

    (2.110)

Кроме того, можно записать через запаздывающую функцию Грина скалярного поля [см. выражение (1.169)]:

Уравнение (2.110) следует также из тождества (1.165), которому удовлетворяет G:

Из формулы

следует

Здесь мы сначала должны выполнить интегрирование по переменной вдоль контура, показанного на рис. 2.3 штриховой линией.

РИС. 2.3. Контур интегрирования, используемый при вычислении функций Грина. Штриховая линия соответствует запаздывающему пропагатору, а сплошная — пропагатору Фейнмана.

В теории дырок вводится другая функция Грина, а именно пропагатор Фейнмана, о котором мы уже упоминали в последнем разделе гл. 1. В теории квантованных полей этот пропагатор появляется естественным образом. Тем не менее мы рассмотрим здесь схематично те идеи, которые привели к нему Фейнмана и Штюкельберга.

Можно считать, что функция Грина описывает три последовательных этапа:

1. Появление электрона в точке

2. Перемещение электрона из точки в точку

3. Исчезновение электрона в точке

Если энергия электрона положительна, то этот процесс физически допустим при Если же энергия электрона отрицательна, то мы должны интерпретировать его исчезновение как появление позитрона, и наоборот. При этом второй этап следует рассматривать как распространение позитрона из точки в точку что имеет смысл только при Поэтому в теории дырок необходимо было бы построить функцию Грина, которая соответствовала бы распространению частицы с положительной энергией только при времени а частицы с отрицательной энергией (точнее позитрона) - только при

Постоянные а и b определяются из условия

Заметим, что здесь изменена нормировка по сравнению с (2.110). Непосредственное вычисление дает

Условие (2.111) удовлетворяется, если Таким образом, мы получаем следующий результат:

    (2.112)

Величины могут отличаться лишь на решение однородного уравнения Дирака. Это на самом деле так, в чем можно убедиться с помощью непосредственного вычисления

Ковариантное выражение для получим с помощью интегрального представления

Смысл предела будет понятен из нижеследующих выкладок Величины, которыми мы оперируем, являются обобщенными функциями, действующими на гладкие основные функции. После подстановки последнего выражения в (2.112) получаем

Положим в первом интеграле а во втором

Если e бесконечно малое положительное число, то можно написать следующее соотношение:

Окончательно получаем

Величина дает рецепт интегрирования по импульсному пространству Сначала интегрируем по вдоль контура, обозначенного сплошной линией на рис. 2-3, а затем производится интегрирование по . Считая, что — комплексное число, т. е. мы имеем

Следовательно, мы можем записать преобразование Фурье величины в виде

    (2.114)

Запишем соотношение, связывающее с пропагатором Фейнмана скалярного поля (1.178):

    (2.115)

В заключение можно сказать, что пропагатор Фейнмана описывает распространение решений с положительными частотами

вперед по времени и распространение решений с отрицательными частотами в обратном направлении по времени.

Пусть — положительно-частотная и отрицательно-частотная части решения, заданные в моменты мени соответственно, причем произвольно. Пропагатор SF позволяет нам определить функцию в промежуточный момент времени

    (2.116)