3.2.3. Массивное векторное поле

Согласно теории Максвелла, фотоны не имеют массы или, что эквивалентно, радиус действия электромагнитных сил является бесконечным. Равенство нулю массы фотона приводит к инфракрасной

катастрофе, т. е. к испусканию неограниченно большого числа мягких фотонов всякий раз, когда ускоряется заряженная частица. Посмотрим, как введение небольшой массы может повлиять на такой результат. С точки зрения кинематики при этом появляется новое (продольное) состояние поляризации. Следовательно, взаимодействия должны быть такими, чтобы в пределе, когда масса отношение констант взаимодействия продольных и поперечных мод колебаний также обращалось в нуль.

Классические массивные частицы со спином 1 можно описать уравнениями Прока для -векторного поля

    (3.132)

Вычисляя дивергенцию этого уравнения, находим

    (3.133)

В случае дивергенция величины А равна нулю и уравнение (3.132) принимает вид

    (3.134)

Обращение величины в нуль означает, что одна из четырех степеней свободы для А оказывается исключенной ковариантным образом, так что спин квантов поля действительно равен 1. Нетрудно показать, что лагранжиан, приводящий к соотношениям (3.132), записывается в виде

    (3.135)

Следует заметить, что перед массовым членом стоит знак плюс, а не минус, как перед соответствующим членом — в лагранжиане (3.7) для случая скалярного поля. Это легко объяснить, если вспомнить, что пространственно-подобные компоненты, которые вносят отрицательный вклад в инвариантный квадрат, соответствуют физическим степеням свободы.

После квантования поле можно записать в виде следующего разложения:

    (3.136)

Три пространственно-подобных ортонормированных вектора одновременно ортогональны времениподобному вектору так что, если считать их вещественными, можно получить следующие соотношения

Упрощенная конструкция хронологического произведения (3.123) приводит к нековариантному пропагатору

    (3-137)

при этом коммутатор равен

    (3.138)

Однако нековариантный вклад в хронологическое произведение представляет собой обобщенную функцию, сосредоточенную в совпадающих точках. Мы уже отмечали, что при хронологическом упорядочении такая обобщенная функция остается неопределенной. Следовательно, можно определить пропагатор, не учитывая эти члены, при этом свойства пропагатора не изменятся. В гл. 5 мы более подробно рассмотрим такое явление.

Если бы нам потребовалось описывать предельный случай с нулевой массой, то вышеприведенное рассмотрение массивных частиц со спином 1 было бы вполне удовлетворительным. Оно использует пространство Фока только с физическими состояниями, обладающими положительной нормой. Но если мы пытаемся положить возникают сингулярности. Это отражается в том, что если не выбрана калибровка, предельный лагранжиан — оказывается неприемлемым. Мы пытаемся найти эквивалентное описание, допускающее корректный переход к случаю нулевой массы

Прием состоит в том, чтобы ввести почти так же, как и в случае электромагнитного поля, индефинитную метрику в пространстве Фока с некоторым дополнительным условием. Поэтому рассмотрим лагранжиан Штюкельберга:

    (3-139)

в котором в случае предел не является сингулярным. Чтобы в предельном случае была справедливой калибровочно-инвариантная теория, существенно, чтобы поле А» было связано с сохраняющимся током.

Из лагранжиана (3.139) следует уравнение

    (3.140)

Взяв дивергенцию обеих частей, получим уравнение

которое остается справедливым, когда в правой части (3.140) вместо нуля стоит сохраняющийся ток.

При величина представляет собой скалярное поле, удовлетворяющее уравнению Клейна—Гордона с квадратом массы может быть отрицательной величиной; чтобы избежать этого, будем предполагать, что X положительна). В силу соотношения (3.141) дивергенция поля

    (3.142)

равна нулю:

    (3.143)

Соответствующее разложение А на «поперечную» (спин 1) и «скалярную» части запишется в виде

    (3.144)

При каноническом квантовании вводятся четыре оператора рождения и уничтожения, удовлетворяющие коммутационным соотношениям:

все остальные коммутаторы обращаются в нуль Знак минус в последнем коммутаторе служит указанием на индефинитность метрики Случаям векторного и скалярного поля соответствуют две различные массы. Компоненты самого поля располагаются на двух гиперболоидах:

Как и прежде, представляют собой три ортонормированных пространственно-подобных вектора, ортогональные вектору . Можно проверить, что выражение (3.146) удовлетворяет уравнениям (3.140) и (3.143), причем соответствующий ковариантный пропагатор записывается в виде

где

Коммутационное соотношение можно записать следующим образом:

Читателю предлагается исследовать пределы

а) При покажите, что восстанавливается теория Прока.

б) Если то . Покажите, что в этом пределе функции Грина описываются выражениями, приведенными в разд. 3.2.2.

В частности, поскольку

    (3.149)

двухполюсный член стремится к что мы уже предвидели в выражении (3.131). Мы будем возвращаться к этому пределу нулевой массы в дальнейшем, в частности в гл. 4 Следует также заметить, что в формализме Штокельберга пропагаторы ведут себя в к пространстве как при больших в то время как пропагаторы Прока для массивных частиц ведут себя иначе. В качестве дополнительного упражнения можно проверить ковариантность теории и построить генераторы и группы Пуанкаре. Мы не привели здесь полного описания кинематических свойств фотонов. По этому вопросу мы рекомендуем читателю обратиться к работам, указанным в примечании Мы ставили своей целью проложить путь к последним результатам, потученпым в калибровочных теориях, которые будут рассмотрены и гл. 12 (см г. 2 настоящей книги).

В заключение этого раздела рассмотрим схематический метод, позволяющий установить верхний предел массы фотона, используя наземные измерения. Это так называемый метод постоянного поля Шредингера. В качестве первого приближения предположим, что Земля представляет собой идеальный точечный диполь М. Соответствующий локализованный сохраняющийся ток является таким что

следовательно, его можно записать в виде . В статическом случае из уравнений Прока выведем соответствующий векторный потенциал, подчиняющийся условию совместимому с этими соотношениями. При этом получаем уравнение

решение которого записывается в виде

Соответствующий вектор магнитной индукции

Направим ось z вдоль вектора М. Тогда В принимает вид

где z — единичный вектор, направленный вдоль оси . Мы видим, что поле расщепилось на две части. В первой части выделен множитель соответствующий угловому распределению магнитного поля в пределе . На постоянном расстоянии имеется однородный дополнительный член, направленный противоположно земному диполю. Детальное измерение углового распределения магнитного поля позволяет установить верхний предел массы ( порядка ). В последних измерениях, использующих другой метод, эти результаты улучшены на порядок.