6.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

В последнем разделе гл. 5 мы изучали аналитические свойства амплитуд, исходя из общего принципа локальной причинности. В качестве типичного примера рассматривалась двухчастичная амплитуда упругого рассеяния вперед, которая, как было показано, является аналитической по энергии при наложении соответствующих ограничений на значения массы частиц. Область аналитичности представляет собой плоскость с двумя разрезами, начинающимися в точках ветвления . Эти значения переменных соответствуют наинизшим промежуточным состояниям в прямом и перекрестном каналах. Скачки амплитуды на разрезах связываются с помощью оптической теоремы с полным сечением реакции в данном канале. Следовательно, амплитуда, по-видимому, будет иметь сингулярности вдоль вещественной оси при всех значениях энергии, соответствующих новым порогам, т. е. возникновению новых возможных конечных состояний. Например, ожидается, что амплитуда рассеяния вперед в процессе имеет сингулярности по s (или и) в точках и т. д.

В настоящем разделе мы обсудим в общих чертах аналитические свойства фейнмановских интегралов. Интерес к изучению этого предмета вызван тремя обстоятельствами. Во-первых, полезно проверить в рамках теории возмущений общие аналитические свойства, установленные строго. Всякий раз, когда с помощью общих аксиом можно доказать существование области аналитичности

вклад произвольной диаграммы необходимо анализировать на всех последовательных стадиях доказательства и убедиться при этом, что он обладает соответствующими аналитическими свойствами, или, точнее, их эквивалентами в рамках теории возмущений. Однако, если массы таковы, что общее доказательство провести не удается, практически полезным может оказаться изучение отдельных диаграмм Во-вторых, таким образом можно исследовать комплексные сингулярности или изучать свойства аналитичности по нескольким переменным. Даже тогда, когда мы предполагаем, что ряд теории возмущений не сходится, и, следовательно, точные выражения для амплитуд могуг иметь свойства, отличные от свойств отдельных диаграмм, такое изучение позволит нам получить полезные выводы В-третьих, дисперсионные соотношения по одной или нескольким переменным могут оказаться полезным средством при вычислении фейнмановских амплитуд

В дальнейшем мы часто будем использовать термин «физический лист амплитуды рассеяния». Под этим подразумевается область, достигаемая аналитическим продолжением в комплексную плоскость выше порога с учетом фейнмановской добавки . При таком рассмотрении мы пренебрегаем возможностью пересечения различных разрезов, обусловленных сингулярной природой амплитуды рассеяния.

6.3.1. Уравнения Ландау

Функция, определяемая интегралом

по контуру С, может иметь, например, в интервале вещественной оси сингулярности двух типов Предположим, что функция является аналитической по переменным х, во всей области ее определения, за исключением сингулярностей, расположенных в Очевидно, является аналитической в любой точке , такой, что ее открытая окрестность С свободна от сингулярностей Если некоторая сингулярность приближается к контуру С и этот контур можно деформировать таким образом, чтобы избежать ее, то F остается аналитической Следовательно, F как функция от может быть сингулярной в тех случаях, когда контур С нельзя более деформировать. Этих случаев два.

1. Одна из сингулярных точек находится близко от одной из конечных точек контура, т. е. при мы имеем — а или b. В этом случае называется концевой сингулярной - точкой.

2. Контур С зажат между двумя сингулярностями т. е. при точки подходят к контуру с противоположных сторон (снизу и сверху) и совпадают при . В этом случае точка 20 называется пинч-сингулярностью.

РИС. 6.29 Сингулярность, возникающая при зажимании контура интегрирования между двумя сингулярными точками подынтегрального выражения.

Элементарными примерами являются следующие интегралы:

В псовом примере мы имеем пинч-сингулярность, поскольку при контур зажимается между двух полюсов . Во втором случае получаем концевые сингулярные точки . При во всех римановых листах логарифма, за исключением первого листа (соответствующего его глазному значению), мы имеем пинч-сингулярность. Действительно, на первом листе контур интегрирования не пересекает точки Однако при переходах на другие листы нам приходится деформировать контур интегрирования. При этом может возникнуть зажимание Такое же явление наблюдается и в случае (6.99в) Здесь при имеет место концевая сингулярная точка, в то время как сингулярность при на каждом листе, за исключением первого, появляется из за зажимания контура на бесконечности. Это становится понятным, если заменить переменную интегрирования х на

Это рассмотрение можно обобщить на функции нескольких комплексных переменных

Граница области интегрирования, определяемая гиперконтуром Н, описывается набором аналитических соотношений Сингулярности подынтегральной функции имеют вид аналитических многообразий Сингулярности возникают тогда, когда гиперконтур Н зажимается между двумя или более сингулярными поверхностями или сингулярная поверхность пересекается с ограничивающей поверхностью. Точнее говоря, можно показать,

что необходимым условием наличия сингулярности является существование множества комплексных параметров которые не все равны нулю и такие, что при имеют место следующие равенства:

Последнее условие отражает тот факт, что гиперповерхности касаются друг друга в точке зажимания. Но это только необходимое условие. Определение того, действительно ли гиперконтур зажимается, требует детального изучения

Применим эти общие результаты к изучению интегралов Фейнмана, которые мы сначала рассмотрим в импульсном пространстве Минковского. Рассмотрим интеграл

Обозначения здесь приняты те же, что и в формуле (6.83), за исключением лишь того, что теперь внутренние импульсы выражены через набор петлевых переменных и внешние импульсы Р. Границы области интегрирования уходят здесь на бесконечность В нашем элементарном рассмотрении мы пренебрежем возможностью появления концевых сингулярных точек на бесконечности и не будем вводить Сингулярности подынтегральной функции определяются уравнениями Уравнения Ландау выражают необходимые условия (6.100) для данного случая:

    (6.102б)

Второе уравнение можно переписать в виде

где мы использовали обстоятельство, что те k, которые зависят линейно (и с коэффициентом от петлевой переменной принадлежат единственной петле, обозначаемой Уравнение (6.102 а) можно интерпретировать таким образом, что сингулярности образуются, только если для каждой внутренней линии либо 4-импульс находится на своей массовой поверхности либо равен нулю параметр В последнем случае линия никогда не появляется

в сингулярных уравнениях. При этом мы имеем сингулярность редуцированной диаграммы, в которой линия стянута в точку.

Поучительным является вывод уравнений Ландау из других интегральных представлений. Прежде чем обсуждать параметрическое представление, рассмотренное в разд. 6.2.3, введем смешанное представление

которое получается с помощью соотношения (6.101), если использовать тождество

Теперь сингулярности интеграла обусловлены нулями знаменателя при зажимании гилерконтура в -пространстве или при пересечении его с границами . Уравнения, определяющие сингулярности, записываются следующим образом:

    (6.106 а)

Случай приводит к для всех . Мы отбрасываем это тривиальное решение и полагаем При этом уравнение принимает вид

а уравнения (6.106 б) и приводят к

Таким образом, мы снова получили уравнения (6.102), в которых А, заменены на а.

Параметрическое представление (6,91), справедливое в случае, когда в диаграмме на первый взгляд отсутствуют ультрафиолетовые расходимости , получается из соотношения (6 104) интегрированием по петлевым импульсам q. Пренебрегая возможностью существования сингулярностей из-за наличия нулей у функции будем считать, что

и запишем условия существования сингулярностей в виде

    (6.107)

Снова является тривиальным решением. Эти условия можно переписать в виде для каждого , откуда в силу однородности имеем Чтобы показать эквивалентность этих условий уравнениям Ландау (6.102), нам необходимо вернуться к переменным для каждой внутренней линии, определенным через внешние импульсы и параметры а. Последние выбираются гак, чюбы удовлетворить уравнениям типа (6.103), в которых X, заменены на . С этим определением условие соответствует уравнению (6.102а).

При отыскании решений системы уравнений или (6.107) благодаря однородности функции мы можем опустить условие

В любом представлении решение, соответствующее (или ) для всех , называется главной сингулярностью, в то время как решение, для которого (или ) при i называется неглавной сингулярностью. Для соответствующей редуцированной диаграммы в которой все линии стягиваются в точку, данная сингулярность является главной.

Уравнения Ландау представляют интерес в связи с тем, что, решив их, можно было бы найти положение сингулярностей s помощью алгебраических действий. Однако даже для простых диаграмм получить общее решение этих уравнений вевьма трудно. Эту задачу возможно решить лишь для случая вещественной сингулярности.