3.1.3. Заряженное скалярное поле

Проведенное выше рассмотрение эрмитова скалярного поля не позволяет различать частицы и античастицы Частицы и античастицы должны иметь противоположные квантовые числа, соответствующие заряду, независимо от природы этого заряда. В классической теории минимальная связь приводит к комплексным полям. Поэтому в квантовом случае определим дублет эрмитовых полей описываемый комплексной величиной

и величиной, эрмитово сопряженной с последней. Полный лагранжиан должен быть суммой двух идентичных лагранжианов вида (3.7), соответствующих и

Квадратичный лагранжиан 3? инвариантен относительно вращений во внутреннем пространстве, характеризуемом индексами 1 и 2, или, что то же самое, когда умножается на фазовый множитель, а — на сопряженный множитель Группой инвариантности является или . Квантование выполняется независимо для причем состояния нумеруются числами квантов типа 1 и 2, соответствующих операторам таким образом,

Записывая гамильтониан через поля и сопряженные импульсы

имеем

Следует заметить, что в уравнениях (3.73) и (3.76) отсутствует коэффициент 1/2, характерный для случая эрмитовых полей. Коммутационные соотношения

при совпадающих временах сводятся к соотношению

Само поле можно записать следующим образом:

    (3.78)

где

причем все остальные коммутаторы обращаются в нуль.

Мы видим, что уничтожает кванты типа а и рождает кванты типа b, а оператор действует обратным образом; это соответствует двум наблюдаемым

    (3.79)

То, почему мы предпочли диагонализовать , а не станет понятным позже, когда мы рассмотрим заряд. Это напоминает то, как если бы вместо линейной поляризации света мы выбрали круговую Разумеется, Наконец, запишем -вектор энергии-импульса:

причем вакуумное состояние уничтожается всеми операторами

Применяя теорему Нётер к группе инвариантности U (1), мы предполагаем, что существует сохраняющийся ток

и соответствующий не зависящий от времени заряд

    (3.82)

В самом деле, можно показать, что

Следовательно, -кванты имеют заряд + 1, а b-кванты - заряд -1. Оба типа квантов входят в теорию симметричным образом и, чтобы различить их физически, необходимо ввести внешнюю связь.

Стало традиционным отождествлять один тип квантов с частицами, а другой — с античастицами. Симметрия теории требует, чтобы а также равенства спинов, которые в данном случае равны нулю Дискретная симметрия, отвечающая замене частиц на античастицы, называется зарядовым сопряжением.

Покажите, что в пространстве Фока можно найти унитарный оператор который коммутирует с гамильтонианом и такой, что

обсудите его свойства,

Примерами различающихся скалярных пар частица-античастица могут служить мезоны или . В последнем случае «зарядом» является странность.

Объединенное описание, основанное на рассмотрении комплексного поля которое представляет собой единственную комбинацию, приводящую к взаимодействиям, инвариантным относительно зарядового сопряжения, указывает на глубокую связь между динамическим поведением частиц и античастиц, которая, как будет показано ниже, выходит за рамки простого равенства их кинематических инвариантов