5.1.7. Фотоны

При рассмотрении фотонов калибровочная инвариантность приводит к дополнительным трудностям. Следуя подходу Штюкельберга, введем фиктивную массу и гильбертово пространство с

индефинитной метрикой. Теперь физические векторные фотоны обладают массой , а скалярные духовые состояния имеют массу . Взаимодействующее поле удовлетворяет модифицированному уравнению Максвелла

тогда как в случае свободных полей сохраняющийся ток обращается в нуль. Поле, сопряженное определяется как

Рассмотрим вакуумное среднее коммутатора полей. Подставляя полную систему состояний с положительными энергиями, получаем выражение общего вида

Величина означает здесь а нижний предел носителя спектральной меры больше или равен Вследствие сохранения тока скалярная компонента является свободным полем:

Таким образом, можно написать

Отсюда следует соотношение

которое означает, что могут отличаться лишь на величину, пропорциональную Для удобства положим

Тогда (5.66) можно переписать в виде

где выделены поперечная часть с множителем и продольная часть, сосредоточенная в

Потребуем теперь, чтобы коммутатор при совпадающих временах обращался в нуль. Соответствующий вклад в правой части выражения (5.68) пропорционален градиенту S-функции. Полагая коэффициент при нем равным нулю, получаем правило сумм:

Вычислим теперь одновременный коммутатор потенциала А с сопряженным ему полем п. Простое вычисление с использованием выражения (5.65) дает

Потребуем, чтобы этот коммутатор был каноническим, т. е. равным величине . Что касается пространственных компонент, то, чтобы удовлетворить этому требованию, достаточно положить

Чтобы этот результат был справедлив и для временных компонент, должно выполняться условие

Однако это условие, вообще говоря, несовместно с соотношением (5.69). Мы собираемся покачать, что есть положительная мер а. Тогда, чтобы выполнялись оба условия, носитель должен сводиться к точке — а это выполняется лишь для свободного поля. Лучшее, что можно сделать, - это допустить разные нормировки для пространственных и временных канонических коммутационных соотношений, т. е. принять, что

До сих пор каких-либо ссылок на асимптотическое условие не делалось. Поскольку различные части поля по-разному участвуют во взаимодействии, было бы неразумным предполагать, что (даже в смысле слабого предела) при поле с точностью

до нормировочной постоянной переходит в свободное поле. Более реалистично определить поперечную компоненту этого входящего поля следующим образом:

и положить, что

Из этого условия, в частности, следует:

Для трех пространственных состояний поляризации дает вклад только первый член, в то время как второй играет роль, когда мы рассматриваем скалярное состояние. При этом вклад одночастичного состояния в коммутатор можно записать в виде

Если — порог континуума, мы получаем

Соответственно отклонение от канонического поведения обусловливается лишь вкладом континуума и обращается в нуль в

случае свободного поля, поскольку (5.72) принимает вид

Для ковариантного пропагатора соответствующее разложение записывается следующим образом:

(см. в конце этого раздела обсуждение проблемы ковариантности). Хотя продольная компонента динамически независима от остальных, ковариантные выражения, выписанные выше, дают нетривиальную константу перенормировки выражения (5.77) и (5 78) не позволяют нам положить или

Если мы покажем, несмотря на индефинитность метрики пространства состояний, что мера положительна, физическая интерпретация станет ясной. Роль величины будет аналогична роли Z в случае скалярного поля

Начнем с того, чтос помощью выражений (5.64) и (5.76) найдем вакуумное среднее коммутатора тока:

Отсюда следует, что 1) одночастичный вклад отсутствует: и 2) ток сохраняется. В случае пространства с дефинитной метрикой с помощью (5.81) нетрудно показать, что плотность положительна. Однако в нашем случае мы имеем

здесь число скалярных фотонов в промежуточном состоянии . В гл. 4 мы рассматривали примеры компенсации вкладов продольных и скалярных фотонов.

Здесь мы ожидаем, что имеет место другой механизм, поскольку массы фотонов двух сортов различны. Прежде всего заметим, что состояния, содержащие одну скалярную частицу, не дают вклада в (5.81). Кроме того, из равенства (5.64) и (5.76) следует, что

Это соотношение в действительности может быть установлено и для других матричных элементов, так что в общем случае справедливо операторное соотношение

которое выражает калибровочную инвариантность тока и напоминает нам, что является свободным полем:

Комбинируя (5.84) и (5.85), находим, что матричные элементы , в которых включают скалярные фотоны, должны обращаться в нуль Отсюда следует, что все члены в правой части дают вклад с положительным знаком и

Таким образом, правило сумм (5.77) имеет тот же смысл, что и в скалярном случае Более тщательное рассмотрение показывает, что фактически не зависит от калибровочного параметра , как и предполагалось нами выше.

Теперь можно непосредственно получить редукционные формулы для состояний, включающих поперечные фотоны. Рассмотрим, например, процесс, включающий испускание фотона с импульсом k и поляризацией

Воспользуемся асимптотическим соотношением, аналогичным (5.73), в котором произведена замена при Тогда, рассматриваемый матричный элемент можно записать в виде

Справедливо соотношение

Таким образом, комбинация, входящая в матричный элемент, равна и окончательное выражение (с возможным несвязным членом) запишется в виде

Эта операция может быть выполнена многократно. Приведем результат, относящийся к случаю, когда начальный фотон переходит в процессе рассеяния в конечное состояние

После действия оператора Клейна — Гордона матричный элемент можно заменить на Разность этих двух выражений сводится к обобщенной функции, сосредоточенной на многообразии вследствие неоднозначности хронологического упорядочения Мы приспособим наше определение символа Т таким образом, чтобы выражения для матричного элемента совпадали:

Эту формулу мы используем для рассмотрения эффекта Комптона.

Вернемся теперь снова к определению ковариантного хронологического произведения, поскольку мы не вникали в детали различий между выражением (5.76) для коммутатора и выражением (5.80) для ковариантного Т произве дения. Многое не так просто, когда имеешь дело с тензорными операторами, и поэтому мы должны сделать некоторые пояснения. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим произведение двух сохраняющихся токов. Обозначая через спектральную функцию можно записать

Сохранение тока здесь очевидно, а знак минус перед интегралом в правой части следует из нашей лоренцевой метрики, что согласуется с положительностью . Введем функцию Вайтмана двух скалярных свободных полей массы М:

Очевидно, что коммутатор запишется в виде

Попытаемся сначала определить хронологическое упорядочение (обозначим его через Т) просто в виде

К сожалению используя (5.89), мы скоро обнаруживаем, что Т не приводит к ковариантной величине. Для свободного поля массы М имеем

Следовательно,

Ковариантное Г-произведение определяется следующим образом:

причем

Здесь — локальная (т. e. сосредоточенная на многообразии х = у) ковариантная величина которую мы оставим пока неопределенной. Мы увидим, что ее можпо определить с помощью закона сохранения тока. Рассмотрим теперь разность между двумя хронологическими произведениями, определяемыми (5.92) и (5.95). С этой целью перепишем член в квадратных

скобках в выражении (5.96) следующим образом:

Из канонического квантования следует, что

Поэтому

Таким образом, разность между хронологическими произведениями оказывается контактным членом, сосредоточенным при но не ковариантным.

Применим теперь это выражение для изучения важного свойства одновременных коммутаторов или, в данном случае, их вакуумного среднего. Из (5.96) следует, что

В соответствии с (5.97) эта величина должна быть равна

Ток сохраняется, так что дивергенция хронологического произведения токов должна совпадать с одновременным коммутатором; следовательно,

откуда получаем

То, что в выражении для одновременного коммутатора временной и пространственной компонент тока член, пропорциональный градиенту -функции,

появляется как следствие условий ковариантности и положительности было впервые отмечено Швингером. Само его название — с-числоеой швингеровский член — напоминает, что он дает вклад даже в величину вакуумного срешего. Равенство нулю одновременного коммутатора временных компонент Юков отражает тот факт, что при интегрировании по пространству они дают сохраняющийся электрический заряд. Если теория допускает более широкую группу инвариантности, чем токи должны иметь внутренние индексы, соответствующие различным генераторам группы симметрии, а при рассмотрении одновременных коммутаторов мы должны включать алгебру Ли этой группы (см. гл 11)

Рассмотрим снова в соотношении (5.95) член и выберем его таким образом, чтобы выполнялось равенство

Величина

удовлетворяет всем требованиям, так что полное выражение для ковариантного Т-произведения запишется в виде