4.1.2. Энергия излучения и инфракрасная катастрофа

Рассмотрим среднее значение энергии, излученной в данном процессе:

Мы видим, что, как и ожидалось, вклады нефизических степеней свободы в сумму взаимно уничтожаются. Из выражения (4.11) мы имеем

и, следовательно,

Этот результат согласуется с классической теорией! В самом деле, излучаемое электромагнитное поле соответствующее потенциалу дается выражением

При этом плотность энергии равна

а ее интеграл, усредненный по большому периоду времени, запишется в виде

Продольная составляющая тока J не вносит вклада в разложение на световом конусе, и мы получаем следующий результат:

который согласуется с (4 32). Физический смысл этого результата и выражения (4.26) состоит в том, что число фотонов, излученных

в элемент объема фазового пространства равно

а их энергия

В частности, если излучается конечная энергия при низкой частоте, то резко возрастает число мягких фотонов

Для некоторых токов J может оказаться, что конечен, в то время как расходится. Это и есть знаменитая инфракрасная катастрофа, о которой шла речь в гл. 1 Там мы видели, что, когда заряд внезапно ускоряется от импульса до импульса он создает ток

В результате он испускает поток фотонов с конечной полной энергией . К несчастью, общее число частиц расходится как Поэтому невозможно рассматривать заряженные частицы независимо от их поля излучения. Однако, как подчеркивалось в гл 1, бессмысленно вычислять число испущенных мягких фотонов: единственной физически измеримой величиной является излученная энергия.

С математической точки зрения ситуация действительно «катастрофическая». В самом деле, при из выражений (4.21) и (4.26) следует, что

Любой матричный элемент между и -состояниями обращается в нуль Очевидно, что невозможно построить -пространство Фока из -пространства и невозможно найти унитарный оператор S. Ситуация здесь такая же, как и в простой модели, которая обсуждалась в начале этого раздела. При определенных обстоятельствах (здесь при ) для системы с бесконечным числом степеней свободы могут существовать неэквивалентные представления канонических коммутационных соотношений. Не удивительно, что при этом в рассуждениях возникают противоречия, поскольку мы хотим описать конечные состояния как суперпозицию состояний с ограниченным числом фотонов, хотя известно, что на самом деле их число бесконечно.

С физической точки зрения можно обрезать часть фазового пространства, т. е. условиться учитывать в конечном состоянии

только фотоны с энергией-импульсом, заключенными в ограниченной области Это соответствует фактическим экспериментальным условиям Разрешающая способность любого детектора фотонов ограничена, и, следовательно, фотоны, энергия которых ниже энергии разрешения детектора, наблюдаться не могут. Пусть R — ненаблюдаемая область фазового пространства, a CR — ее дополнение Полная вероятность того, что излучение происходит лишь с импульсом, принадлежащим пространству R, т. е. что фотоны не детектируются, отлична от нуля:

поскольку величина

конечна, в то время как при каждый член суммы обращается в нуль. Наблюдаемая излученная энергия при достаточно малом R сколь угодно близка к а вероятность детектирования по крайней мере одного фотона с импульсом, не принадлежащим пространству R, равна и является конечной.

Имеется другая возможность обойти скользкие места предшествующего анализа инфракрасных расходимостей, по крайней мере его математические трудности. Предположим, что фотон имеет небольшую массу , и при квантовании массивного фотонного поля используем калибровку Штюкельберга, рассмотренную в гл. 3. Это приведет к обрезанию области низких энергий, поскольку теперь тем самым мы устраним инфракрасную расходимость. Однако необходимо проверить, что дополнительные степени свободы не дают побочного эффекта, т. е. наблюдаемые величины не изменяются в пределе

Итак, будем рассматривать поле массивных фотонов, связанное с сохраняющимся током Напомним что в теории с нулевой массой состояния с отрицательной нормой не играют роли, возбуждаются лишь поперечные степени свободы. В нашем случае, т. е. в калибровке Штюкельберга, имеет место аналогичная картина; в силу сохранения тока только поперечное поле

связано с током:

Следовательно, состояния с отрицательной нормой не дают вклада. Однако остается вклад от состояния с продольной поляризацией. Величину можно вычислить, например, из выражений (4.16) и (3 148):

Как упоминалось выше, для ускоренного заряда . Обрезая интегралы при некотором значении получаем для потенциально расходящуюся оценку:

в то время как излученная энергия

при ведет себя плавно. Заметим также, что вклад продольных фотонов с данным импульсом к пренебрежимо мал по сравнению с вкладом поперечных фотонов

где мы использовали соотношение вытекающее из закона сохранения тока. Введение малой массы фотона обеспечивает устранение инфракрасной расходимости. Однако из-за наличия третьего состояния поляризации спектр излучения абсолютно черного тела может измениться в 3/2 раза. Этой трудности удается избежать в предположении, что время релаксации третьей моды может оказался столь большим, что этот эффект не будет вообще наблюдаться.

Из проведенного обсуждения ясно, что характерные особенности инфракрасных расходимостей в квантовой электродинамике имеют по существу классическое происхождение и определяются природой внешнего тока и разрешающей способностью экспериментальной установки. Однако существуют квантовые эффекты, например флуктуации числа испущенных фотонов, которые необходимо учитывать. Предполагая, что — конечное число, вычислим

Отсюда следует

Если велико, то эти флуктуации очень малы. Аналогично флуктуацию энергии можно записать в виде

Если энергия излучения фотонов имеет резкий максимум для частот вблизи значения , то мы получим

следовательно, как и предполагалось,