5.3.4. Дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния вперед

Теперь мы можем изучить упругое рассеяние вперед (когда Ул — в зависимости от начальной энергии Нам надо показать, что соответствующая функция является аналитической в плоскости с разрезами на вещественной оси. В свете замечаний, сделанных в конце разд. 5.3.2, это нетривиальный результат. Мы, естественно, будем рассматривать случай что соответствует физической массовой поверхности

Чтобы решить данную задачу, пересечем поверхность Р, построенную выше, плоскостью что даст в сечении гиперболоид. Нам нужно найти соответствующее пересечение с областью Для комплексных значений q, принадлежащих массовой поверхности, вещественная линия не пересекает этот гиперболоид, с которым она имеет уже две комплексные общие точки Мы отмечали, что при фиксированных лоренц-инвариантность означает, что является функцией только той компоненты q, которая направлена вдоль . Считая, что эта компонента направлена вдоль временной оси, можно ограничиться рассмотрением векторов q, имеющих только две ненулевые компоненты, скажем Таким образом, мы имеем дело фактически с двумерной задачей, третья компонента добавлена для удобства. Комплексной точке на гиперболе соответствует и она будет точкой аналитичности при условии, что пересекает выпуклую оболочку в плоскости Для этого необходимо, чтобы пересекала обе ветви гиперболы, отвечающей массовой поверхности.

Далее область определяется неравенствами или, что эквивалентно, Условие, что пересекает верхнюю ветвь, записывается в виде или Аналогично условие того, что пересекает нижнюю ветвь, имеет вид . Следовательно, эти критерии позволяют исключить возникновение комплексных сингулярностей в комплексной плоскости V. С другой стороны, нам известно, что неравенства являются ограничениями на массы промежуточных состояний или в суммах, входящих в выражения (5.173). Из этого мы делаем заключение, что рассмотренный выше метод позволяет

получить в лучшем случае дисперсионные соотношения для рассеяния вперед (без комплексных сингулярностей) лишь условно.

В некоторых случаях одна из величин или или обе они оказываются определенно меньше, чем значение упругого порога Без особых трудностей можно разобрать один часто встречающийся случай, когда промежуточное изолированное состояние [с массой ] находится ниже порога. Такое состояние дает полюсный вклад по энергетической переменной. Умножение амплитуды на не изменяет ее аналитических свойств, но устраняет эту сингулярность. В пион-нуклонном рассеянии, например, такой полюс возникает нуклона в промежуточном состоянии.

Предположим, что, за исключением таких полюсов, выполняется условие Следовательно, мы приходим к заключению, что амплитуда рассеяния вперед имеет следующие свойства

1. Она представляет собой аналитическую функцию в комплексной плоскости v, за исключением разрезов, идущих вдоль вещественной от до и от до , и возможных полюсов в промежутке между разрезами.

2. Амплитуда вещественна в промежутках между разрезами, так что на этих разрезах ее скачок является чисто мнимым. Это следует из выражения (5.173), примененного к случаю рассеяния вперед.

3. Амплитуда при больших v полиномиально ограничена. Это следует из предположения о том, что поля являются функциями умеренного росга, и, следовательно, заведомо справедливо для зависимости от комплексной переменной

4. В силу перекрестной симметрии, если мы имеем

Используя эту информацию и формулу Коши, получим простое аналитическое представление амплитуды рассеяния. Для простоты предположим, что справедливо свойство 4, т. е. и что амплитуда обращается в нуль на бесконечности. Тогда можно написать

    (5.177)

Если бы имела степенной рост в зависимости от v, то аналогичное представление было бы справедливо для функции, получаемой делением на вещественный полином от

Следует подчеркнуть, что рассмотренное выше представление содержит лишь физически измеримые величины Абсорбтивная часть связана с полным сечением с помощью оптической теоремы [формула (5.156)], в то время как вычеты от возможных

полюсных членов являются произведениями констант взаимодействия. Действительно, используя формулы типа (5.177), можно измерять такие константы взаимодействия.

В качестве иллюстрации рассмотрим традиционный пример, а именно пион-нунлонное рассеяние. Запишем для произвольных зарядов две независимые амплитуды в виде

    (5.178)

где и — дираковские спиноры, описывающие нуклоны в конечном (с импульсом ) и начальном (с импульсом ) состояниях на массовбй поверхности. Начальный пион имеет импульс 1, а конечный—импульс Кинематические инварианты выберем следующим образом:

    (5.179)

Здесь — массы соответственно нуклона и пиона, -угол рассеяния в системе центра масс, — трехмерный импульс пиона, a - полная энергия в этой системе; таким образом,

В соответствии с разделом 5.1.1 дифференциальное сечение имеет вид

В выражении для (5.178) функции А и В зависят только от инвариантов. Предвосхищая обсуждение симметрий (см. гл. 11 в т. 2 настоящей книги), используем то обстоятельство, что сильные взаимодействия обладают свойством изотопической инвариантности и что изоспин нуклона равен 1/2, а изоспин пиона 1. Следовательно, все каналы описываются с помощью двух матричных элементов, соответствующих полным изоспинам 1/2 или 3/2, т. е. для любого процесса с конкретными зарядами частиц функции А и В записываются в виде комбинаций соответственно величин Это позволяет написать следующие соотношения:

    (5.182)

Последние два процесса называют реакциями с перезарядкой. Поскольку три наблюдаемых процесса описываются лишь двумя редуцированными амплитудами, мы получаем для сечений неравенства треугольника. Удобно ввести

комбинации амплитуд

    (5.183)

соответственно четную или нечетную по отношению к перестановке Учитывая явную структуру выражения (5.178) и используя переменную

    (5.184)

Нечетную по отношению к кроссинг-преобразованию (заметим, что при величина v совпадает с энергией налетающего пиона в лабораторной системе), получаем соотношения

При эти амплитуды являются аналитическими (по v) в плоскости с разрезом вдоль вещественной оси от упругого порога до («разрез) и от до порога в -канале

Кроме того, на вещественной оси встречаются изолированные полюсы, соответствующие нуклонному промежуточному гоянию в s- и -каналах. Напишем лагранжиан эффективного псевдоскалярного пион-нуклонного взаимодействия

где — изоспиновые матрицы нуклона, а на - три эрмитовы компоненты пионного поля. Тогда полюсные вклады можно записать в виде

    (5.187)

Здесь Используя уравнение Дйракй для спиноров на массовой поверхности, получаем

Мы видим, что полюсы дают вклад только в амплитуды В, причем

    (5.189)

Заметим также, что положение полюсов зависит от переменной

Подставляя значение при и временно пренебрегая вопросом о вычитаниях, получим дисперсионные соотношения для рассеяния вперед 0 виде

    (5.190)

В действительности можно показать, что амплитуды являются аналитическими функциями от s при фиксированных (отрицательных) значениях изменяющихся в промежутке поэтому соотношение (5.190) можно обобщить следующим образом:

    (5.191)

Эти соотношения можно использовать вместе с разложением по парциальным волнам, описанным в разд. 5.3.1. С этой целью в выражении для сечения (5.181) перепишем величину в виде

    (5.192)

где начальная и конечная спиральности нуклона, а — спиноры Паули, такие, что с (2.37)]

Обозначая энергию нуклона в системе центра масс через Е, получаем

Матрицу входящую в (5.192), можно разложить по представлениям углового

момента следующим образом:

    (5.194)

где J принимает полуцелые значения.

Требование Р-инвариантности накладывает на эти амплитуды условия а обращение времени не дает никаких новых ограничений. Используя спинор с определенными спиральностями, при получаем

Как уже упоминалось, амплитуды, соответствующие рассеянию с определенной четностью, имеют вид

    (5.196)

Сдвиги фаз вещественны ниже неупругого порога и соответствуют рассеянию в канал с полным угловым моментом J и четностью . В нерелятивистском рассмотрении эти состояния получались бы при определенном орбитальном момеше I для поэтому соответствующие фазовые сдвиги традиционно обозначают также как соответственно. Воспользуемся теперь точными выражениями для функций Вигнера:

В обозначениях - это приводит к следующим разложениям:

    (5.198)

Очевидно, что при дает вклад только амплитуда Теперь следовало бы изучить вопрос о вычитаниях в дисперсионных соотношениях В разд 5.3.5 рассмотрим некоторые общие утверждения, а здесь лишь укажем на то, что в случае пион-нуклонного рассеяния единственной амплитудой требующей вычитаний, является

Классическим приложением формулы (5.190) является определение эффективной константы связи Идея метода сводится к точной оценке на основе низкоэнергетического фазового анализа амплитуды В для упругого рассеяния на протоне (где практически доминирует вклад от резонанса и к последующему сравнению ее вещественной части для рассеяния вперед со значением, определяемым дисперсионным интегралом. В последнем

также доминирует низкоэнергетический вклад, поэтому наше рассмотрение последовательно. Значение константы, полученное Гамильтоном и Вулкоком, равно

    (5.199)

Дисперсионные интегралы играют основную роль при анализе различных фазовых сдвигов при промежуточных энергиях. В качестве упражнения мы предлагаем распространить данный формализм на реакцию в t канале