2.1.2. Уравнение Дирака

Поскольку с физической точки зрения уравнение Клейна—Гордона было найдено неудовлетворительным, мы попытаемся построить волновое уравнение

где — векторная волновая функция, а — эрмитовы матрицы, обеспечивающие эрмитовость Н, вследствие чего существует положительная сохраняющаяся плотность вероятности. Теперь введем три следующих требования:

1. Компоненты волновой функции должны удовлетворять уравнению Клейна — Гордона, так что решение представляет собой плоскую волну при условии

2. Существует сохраняющийся -вектор плотности тока, четвертая компонента которого — это положительно-определенная плотность.

3. Компоненты волновой функции не должны удовлетворять какому-либо дополнительному условию, так что в любой данный момент времени они являются независимыми функциями переменной х. Нам нужно также проверить релятивистскую ковариантность этого формализма.

Дирак предположил, что - антикоммутирующие матрицы, квадраты которых равны единице, удовлетворяющие соотношениям

Здесь скобка обозначает симметричную комбинацию операторов называемую антикоммутатором.

Нетрудно проверить, что условие 1 выполняется

Введем обозначения

и символ Фейнмана . Это позволяет записать уравнение

Дирака в виде

При этом уравнение Клейна — Гордона получается умножением уравнения (2.9) на оператор Наименьшая размерность матриц, удовлетворяющих условиям (2.8), равна четырем.

Собственные значения матриц и Р равны ±1; при имеем таким образом, размерность -матриц должна быть четной. Поскольку для существуют лишь три антикоммутирующие эрмитовы матрицы, а именно матрицы Паули, мы имеем

Рассматриваемые нами матрицы записываются явно в виде

где а—матрицы Паули, — единичная . Это представление удобно при анализе нерелятивистского предела уравнения Дирака.

Среди всех возможных эквивалентных представлений, получаемых с помощью несингулярного преобразования особую роль играет представление Майорана; в этом представлении уравнение Дирака становится вещественным, что достигается перестановкой изменением знака , в предыдущем представлении: . Таким образом, одна лишь [5 мнимая, а уравнение Дирака

вещественно; его решениями являются линейные комбинации вещественных решений. Легко найти матрицу U, осуществляющую переход к этому представлению, и новые у-матрицы (см. приложение в т. 2 настоящей книги)

В четырехмерном представлении (2.10) волновую функцию можно записать как биспинор терминах двухкомпонентных спиноров По причинам, которые будут скоро ясны, называют большой и малой компонентой соответственно

Они удовлетворяют уравнениям

Интересно отметить сходство между этими уравнениями и двумя из четырех уравнений Максвелла

записываемых в явном виде как

где

Спиновые матрицы S для электромагнитного поля, обладающего спином 1, играют такую же роль, как матрицы Паули о для спина 1/2, а комбинация аналогична

Уравнение Дирака было введено в теорию прежде всего потому, что необходимо иметь положительную плотность вероятности и соответствующее уравнение непрерывности . Поскольку — комплексный спинор, то для того чтобы была вещественной и положительной, она должна иметь вид Выведем сначала уравнение Дирака для Из (2.9) следует, что

Величины нетрудно выразить через

Таким образом, определяя функцию с помощью соотношения

мы имеем

Комбинируя уравнения (2.9) и (2,9а), приходим к равенству

Следовательно, можно предположить, что ток имеет вид

Плотность положительна. Малая и большая компоненты входят в одинаковым образом, тогда как в j входят перекрестные члены. Ниже мы убедимся в том, что при преобразованиях Лоренца преобразуется как 4-вектор.