3.3.2. Пространство Фока для фермионов

Рассмотрим сначала одночастичные состояния. Подразумевается, что в импульсном пространстве произведено необходимое сглаживание. Для каждого данного -импульса теперь имеется четырехкратное вырождение. Обозначим соответствующие состояния через :

Они удовлетворяют соотношению . Для того чтобы различать эти состояния, найдем наблюдаемые, коммутирующие с Одной из таких наблюдаемых является заряд (нормирован

на ±1 для одночастичного состояния)

В случае дираковских частиц символом будем обозначать величину , а не как в случае бозонов. Поскольку вакуум имеет нулевой заряд и

мы имеем

В противоположность «классическому» случаю, где мы попытались интерпретировать (3.164) как положительную квадратичную норму, в квантовом случае этого сделать нельзя. Использование антикоммутаторов полностью изменило ситуацию; энергия теперь положительна, а заряд является неопределенной величиной.

Таким образом, квантованная теория Дирака описывает частицы двух типов. В электродинамике будет электрическим зарядом, а будет уничтожать электроны и создавать позитроны. Поскольку не зависит от времени и

Чтобы полностью описать одночастичные состояния, остается ввести спин. Для преобразований Лоренца по аналогии с (3.158) мы имеем

    (3.165)

Поскольку

и

мы находим

    (3.166)

Рассмотрим теперь действие оператора Паули—Любанского на состояние . Оператор заменяется при этом его собственным значением Пусть —

ось времени, а

является нормированным пространственно-подобным 4-вектором, ортогональным k в двумерной плоскости Очевидно, что его пространственная компонента направлена вдоль вектора к. Выберем третью ось, направленную параллельно . При этом величина принимает вид

Очевидно, что при действии на состояние вклад орбитальной части в обращается в нуль, а поскольку мы получаем

Теперь нам необходимо выбрать снинорный базис Запишем выражение для :

где

Соответствующие состояния называются спиральными. Так как мы выбрали третью ось параллельной к, то

Учитывая это выражение, мы получаем

Аналогично

Определяя далее спинор

где

находим

Формулы (3.167) и (3.168) завершают характеристику состояний: состояния имеют спиральность а спиральность состояний равна

Заметим, что между спинорами существует типичная инверсия. В соответствии с дырочной интерпретацией спинор со спином соответствует положительной спиральности.

Рассмотрим теперь многочастичные состояния. Обозначим операторы рождения общим символом опуская тем самым обозначения импульса, заряда или спина. Базис пространства Фока образуют состояния

Вследствие антикоммутативности операторов рождения эти состояния являются антисимметричными по аргументам волновой функции и, в частности, они обращаются в нуль, если какие-либо два аргумента совпадают. В этом формализме воспроизводится принцип запрета Паули, справедливый для электронов и вообще для любых тождественных фермионов. Квантование с использованием антикоммутаторов привело естественным путем к статистике Ферми—Дирака.

Читателю будет интересно рассмотреть свободный релятивистский электронный газ в состоянии теплового равновесия. Что произойдет, если сохраняйся только полный заряд, а не число электронов и позитронов в отдельности?