5.3.5. Аналитичность по передаваемому импульсу

Ниже мы бдем пренебрегать спинами внешних частиц. Учесть спин внешних частиц можно, хотя это и не так просто. Однако это мало влияет на окончательный результат Вместо того чтобы начать рассмотрение с редукционной формулы, учитывающей как начальное, так и конечное состояния частицы (см разд 5 3.2.), мы предпочитаем редуцировать две начальные частицы с импульсами описываемые полями и Таким образом, связный элемент -матрицы запишем сначала в виде

    (5.200)

Возвращаясь к выводу этой формулы, заметим, что в физической ебласти упругого процесса мы могли бы с таким же успехом использовать запаздывающий коммутатор вместо хронологического произведения. Таким образом, опуская несущественные контактные члены, можно использовать следующую замену (где и являются источниками полей )

    (5.201)

Учитывая закон сохранения импульса, получаем

Отсюда мы видим, что, согласно представлению Йоста—Лемана—Дайсона, амплитуда является аналитической но переменной и мы можем повторить здесь анализ, который приводился нами выше для случая рассеяния вперед. Положим, что временная ось направлена вдоль полного начального импульса . Иными словами, будем вести рассмотрение в системе центра масс и используем выражение (5.202), чтобы изучить аналитические свойства ауплигуды по косинусу угла рассеяния. Область совпадения опережающего и запаздывающего коммутатора, который можно применить с тем же успехом, что и опережающий, ограничивается гиперболоидами, соответствующими наинизшич массам промежуточных состояний дающих вклад соответственно в матричные элементы

    (5.203)

Стабильность частиц а (импульс ) и b (импульс ) означает, что

    (5.204)

В случае когда рассматривается амплитуда рассеяния на массовой поверхности, имеем

    (5,205)

В пятимерном пространстве (напомним, что мы находимся на поверхности Р, т. е. ) эти два линейных условия определяют трехмерное линейное многообразие, которое должно, очевидно, иметь вещественное пересечение с поверхностью Р.

РИС. 5.10. Область аналитичности по относительному трехмерному импульсу на массовой поверхности с вещественным пересечением

Кроме того, плоскости, определяемые уравнениями

    (5.206)

пересекают поверхность Р по двум гиперболоидам, ограничивающим область Обозначим ее выпуклую оболочку через . В силу условий стабильности трехмерное линейное многообразие, описывающее массовую поверхность пересекает поверхность Р по сфере радиус которой равен постоянному относительному -импульсу . Пересечение этого многообразия с также является сферой радиус которой R больше, чем и зависит от масс (рис. 5.10). Таким образом, область аналитичности может быть полностью задана с помощью вектора q. Для произвольной комплексной точки на

имеем

    (5.207)

Напомним, что под следует понимать обычный квадрат длины всех -импульсов в системе центра масс для упругого рассеяния. Комплексная точка будет точкой аналитичности в том случае, когда вещественная прямая пересекает сферу . Поскольку ортоюнальна это означает, что лежит внутри в то время как, согласно первому условию, Граница соответствует величине Выразим эти результаты через угол рассеяния

Заметим, что квадрат длины равен величине Таким образом, где — единичный фиксированный вектор, а переменная х, как это следует из соотношения (5.207), изменяется внутри комплексной области, ограниченной эллипсом:

Это так называемый малый эллипс Лемана, уравнение которого имеет вид

Фокусами этого эллипса являются точки I, а большая полуось равна

В более общем случае доказательство распространяется на любой матричный элемент и обнаруживает аналитические свойства, достаточные, чтобы существовало сходящееся разложение по сферическим гармоникам от относительных углов, выражающее инвариантность -матрицы относительно вращений.

Эллиптическая область представляет собой естественную область сходимости разложения по парциальным волнам, в простейшем случае рядов по полиномам Лежандра. Однако вычислить фактическое значение R не так легко. Оказывается, что

Существование эллиптической области аналитичности для амплитуды упругого рассеяния предполагает, что абсорбтивная часть амплитуды аналитична в эллипсе болы его размера (в большом эллипсе Лемана). Для значений энергии ниже неупругого порога в этом можно убедиться следующим образом. Обращаясь к формуле (5.168), напомним, что

    (5.211)

Из оценки для полиномов Лежандра при больших I следует, что необходимое и достаточное условие (обобщенный критерий Абеля для рядов Тейлора) сходимости разложения (5.211) в эллипсе с большой полуосью состоит

в том, чтобы наименьшая верхняя граница для была равна

Абсорбтивная (мнимая) часть амплитуды определяется с помощью аналогичного ряда, в котором заменено на . Из (5.211) мы видим, что это разложение сходится в эллипсе с большой полуосью определяемой выражением

т. е.

В работах Мандельстама, Лемана, Броса, Эпштейна и Глазера эти аналитические свойства по s и t, полученные раздельно, были обобщены как аналитические свойства от обеих переменных. Мартен с сотр. получили важные результаты, используя свойства положительности абсорбтивной части. В гл. 6 у нас будет возможность вернуться к рассмотрению данного вопроса в связи с изучением разложений теории возмущений.

В заключение данного раздела обратим внимание на два важных результата, которые накладывают ограничения на поведение амплитуд при больших энергиях и находятся в тесной связи с аналитическими свойствами.

Первый из них — это полученное Фруассаром ограничение на поведение полного сечения при больших значениях s. С интуитивной точки зрения может показаться, что при сечения будут ограниченными, если радиус сильных взаимодействий конечен. В действительности дело обстоит не столь просто, даже в экспериментальном аспекте. Это объясняется тем, что когда взаимодействия переносятся частицами со спином, могут также действовать силы, зависящие от скорости. Для получения этого результата необходимо сделать следующие предположения.

1. Расширение области аналитичности таково, что дисперсионные соотношения при фиксированных могут быть записаны с не более чем вычитаниями Полиномиальное ограничение возникает в рамках аксиоматического подхода, а также последовательно во всех порядках теории возмущений в лагранжевой теории поля, Можно показать, например, для пион-нуклонного рассеяния, что в действительности

2. Учитывая соотношение и то, что разложение по полиномам Лежандра для абсорбтивной части, как можно показать, сходится внутри эллипса с большой полуосью (расширение большого эллипса Лемана вследствие

условия положительности), мы можем записать

    (5.212)

При фиксированных значениях величины положительны и возрастают экспоненциально с ростом I.

В сущности ведет себя как функция так что ряд для абсорбтивной части при больших s эффективно обрезается при некотором порядка

    (5.213)

Вследствие условия унитарности

разложение амплитуды в физической области, в которой ограничено величиной и снова вследствие условия унитарности мы имеем . Таким образом, получаем

    (5.214)

Точную оценку фигурирующей здесь константы можно получить при рассмотрении максимального числа вычитаний п. Фактически это число может быть сведено к двум, если использовать ограничение, аналогичное (5.214), в -канале и применить теорему Фрагмена — Линделефа. Последняя показывает, что граница справедлива и для комплексных направлений; следовательно, Таким образом, граница Фруассара определяется неравенством

    (5.215)

а из оптической теоремы следует, что

    (5.216)

Хотя масштаб энергии под знаком логарифма не определен, удивительно, что тенденция, обнаруживаемая в экспериментальных данных, полученных на последнем поколении ускорителей, находится в качественном согласии с данным ограничением Величину (5.213), на которой происходит обрезание углового момента, можно связать с эффективным радиусом поглощения Исходя из аналогии с потенциальной теорией, мы

имели бы для пион-нуклонного рассеяния). В действительности радиус поглощения отличается от этого наивного предсказания только логарифмическим ростом с энергией.

Используя свойства аналитичности, можно получить еще один результат, а именно то, что полные сечения рассеяния частицы и античастицы на данной мишени оказываются асимптотически одинаковыми.

Впервые этот результат теоретически получпл Померанчук. Формулировка его теоремы нуждается в некоторых оговорках, поскольку полные течения рассеяния могут возрастать при больших s как . Пусть — сечение рассеяния частицы, а же для античастицы; тогда можно показать, что при

Вопросу о роли свойств локальности и унитарности, которые определяют закономерности рассеяния, можно было бы и следовало бы уделить гораздо больше внимания Более глубокое изложение этого материала имеется в обширной литературе, посвященной данному вопросу.