4.3.3. Образование пар в постоянном однородном электрическом поле

В случае постоянного однородного поля мы можем получить точный результат, не прибегая к теории возмущений. Рассмотрим выражение (4.88) и запишем

    (4.107)

Поскольку след оператора инвариантен при перестановках, а матрица зарядового сопряжения С удовлетворяет условию

можно записать следующее равенство:

    (4.108)

Выражения (4.107) и (4.108) в сумме дают

Полезное тождество

    (4.110)

позволяет нам записать искомую вероятность в виде 00

    (4.111)

В случае постоянного поля эта вероятность не должна зависеть от х. Кроме того, оператор коммутирует со всеми остальными операторами, и мы можем вычислить соответствующую экспоненту. Здесь и далее мы будем считать, что электромагнитное поле является чисто электрическим полем, направленным вдоль оси (в разд. 4.3.2 мы показали, что образование пар — это электрический эффект). Выберем также калибровку, при которой

лишь компонента не обращается в нуль. Тогда

    (4.112)

и, используя коммутационное соотношение получаем

    (4.113)

Следовательно,

    (4.114)

Последний интеграл можно рассматривать как след оператора эволюции гармонического осциллятора, причем с чисто мнимой частотой. Это следует из соответствия

Энергетические уровни такой системы хорошо известны, и мы можем написать

    (4.115)

следовательно,

Собирая все члены, находим

Здесь член соответствует вычитанию при в (4.111). Следует заметить, что интеграл сходится на обоих пределах: инфракрасная сходимость при обеспечивается правилом обхода в то время как при член в скобках убывает как s и подынтегральное выражение оказывается конечным. Интеграл в (4 117) можно вычислить по теореме Коши Сначала он преобразуется в интеграл по промежутку , а затем контур интегрирования деформируется так, чтобы охватить отрицательную мнимую ось и выделить вклады от полюсов

гиперболического котангенса, В результате получим выражение для вероятности образования пар в единице объема за единицу времени:

Вследствие того что величина мала по сравнению с образование пар в постоянном поле никогда непосредственно не наблюдалось.

РИС. 4.1 Потенциальная энергия (сплошные кривые) электрона в поле связывающего его потенциала (штриховые кривые) и электростатического потенциалл

Вспомним, например, что электрическое поле на боровской орбите атома водорода имеет порядок

Аналогичное выражение для вероятности рождения бесспиновых бозонов имеет вид -

В этих формулах существенный множитель найден не по теории возмущений Он напоминает квантовый туннельный эффект Действительно, рассмотрим в атомной физике электрон, находящийся в потенциальной яме (штриховая кривая на рис 4 1) и испытывающий действие дополнительного электрического потенциала Результирующий потенциал показан на рис 4.1 сплошной линией. При энергии связи вероятность

ионизации пропорциональна величине

Если предположить, что электрон с отрицательной энергией захвачен потенциалом то мы получим множитель , который качественно согласуется с рассмотренным выше точным результатом.