6.1.3. Электрон-электронное и электрон-позитронное рассеяние

В качестве иллюстрации применения диаграммной техники вычислим сечение электрон-электронного рассеяния в низшем порядке теории возмущений. Напишем сначала редукционную формулу,

выведенную в предыдущей главе:

Соответствующие обозначения приведены на рис. 6.12; заметим, что здесь — импульсы выходящих электронов.

РИС. 6.12. Общая форма диаграмм, дающих вклад в электронное рассеяние.

В низшем порядке теории возмущений в функцию Грина дают вклад две диаграммы, показанные на рис 6.13, a В выражении (6.35) факторы, соответствующие внешним линиям, компенсируются операторами Дирака и интегрированием, причем внешние импульсы оказываются на массовой поверхности.

РИС. 6.13. Вклады низшего порядка в электрон-электронное рассеяние.

В данном случае учет сохранения импульсов в каждой вершине приводит к тому, что интегралы исчезают. Диаграммы на рис 6.13 дают вклады с противоположными знаками, и редукционная формула запишется в виде

где

Следовательно,

и

Члены в пропагаторах, пропорциональные , не дают вкладов в выражение (6 36), и, при вычислении сечения можно перейти к пределу не опасаясь инфракрасных расходимостей:

Отсюда очевидна антисимуетрия начальных и конечных состояний. Множитель, связанный с тождественностью частиц, отсутствует, но, конечно, при вычислении полного сечения следует интегрировать лишь по половине фазового пространства конечных состояний

РИС. 6 14. Кинематика элекгрон-электронного рассеяния в системе центра масс

Вычислим дифференциальное сеченйе рассеяния неполяризованных начальных пучков в случае, когда поляризации конечного состояния не измеряются Кинематика такого процесса в системе центра масс приведена на рис. 6.14, где — угол рассеяния в этой системе, учтено, энергия Е сохраняется, и используются обозначения Применяя общую

формулу (5.13) и учитывая нормировку спиноров, получаем

здесь — квадрат модуля амплитуды, усредненный по начальным и просуммированный по конечным состояниям поляризаций. Выполняя интегрирование с учетом -функции, отвечающей закону сохранения знергии-импульса, находим

причем

Вычисляя след, имеем

и

Следовательно,

Все инварианты можно выразить через энергию Е и угол рассеяния :

РИС. 6.15. Общий вид диаграмм, дающих вклад в электрон-поэитронное рассеяние

Подставляя эти соотношения в (6.41), с учетом (6.39) получаем формулу Мёллера:

В ультрарелятивистском пределе, когда имеем

а в нерелятивистском пределе, когда

Впервые этот результат был получен Моттов в 1930 г. Мы предоставляем читателю в качестве упражнения записать эти сочения в лабораторной системе отсчета.

РИС. 6.16 Вклады низшего порядка в электрон-позитронное рассеяние.

Поучительно также сравнить формулу (6 44) с нерелятивистским пределом формулы Резерфорда для кулоновского рассеяния с и приведенной мяссой

Рассмотрим теперь электрон-позитронное рассечис На рис. 6.15 и 6.16 представлены кинематика и диаграммы в низшем

порядке теории возмущений. Мы здесь не указываем индексов поляризации, и на рис. 6.16 4-импульсы ориентированы в соответствии с направлением протекания заряда. При этом амплитуду рассеяния можно вычислить по формуле (6.37), выполняя следующие подстановки:

и меняя знак амплитуды. В системе центра масс нетрудно получить

причем

Теперь мы можем записать окончательное выражение для сечения рассеяния:

В ультрарелятивистском и нерелятивистском пределах мы имеем, соответственно

Заметим, что в последнем случае аннигиляционная диаграмма не дает вклада. Эти выражения были получены Баба в 1936 г.

Выражения (6.42) и (6.47) можно сравнить с экспериментальными данными. На рис. 6.17 приведены сечения электрон-электронного рассеяния на 90° при низких энергиях, полученные Ашкином, Пейджем и Вудвордом в 1954 г. Эти сечения хорошо согласуются с формулой Мёллера (6.42), но не согласуются с соответствующим выражением для бесспиновых частиц, которое

РИС. 6.17. Экспериментальные данные по электрон-электрон ному и электрон-позитронному рассеянию на угол как функция энергии пад тощего электрона в лабораторной системе координат, а — электрон-электронное рассеяние, сплошная кривая отвечает формуле Моллера, но в пренебрежении спиновыми членами; б — электрон-позитронное рассеяние; сплошная кривая соответствует формуле Баба, штриховая — формуле Баба в пренебрежении анни-гиляционными членами. [См. Ashkin S., Page L. A., Woodward W. М.- Phys. Rev., 1974, vol. 94, p. 357.]

РИС. 6.18. Сечение рассеяния Баба при высоких энергиях (для значения угла рассеяния ) как функция квадрата полной энергии s. Сплошная кривая вычислена по формулам квантовой электродинамики с радиационными поправками первого порядка. [См. Strauch К., в сб. статей: Proc. 6-th Symposium on Electron and Photon Interaction at the High Energies/ ed. H. Rollnik, W. Pfeil.-Amsterdam: North-Holland, 1974.]

мы по пучим ниже [см формулу (6 65)] Результаты измерения в случае электрон позитронного рассеяния вполне удовлетворительно согласуются с выражением для сечения Баба [см формулу (6.49)] То, что мы пренебрегли аннигиляционным членом может нарушить это согласие. На рис. 6.17 энергии налетающих частиц (ось абсцисс) в лабораторной системе принадлежат промежуточной области, в которой ни нерелятивистское, ни ультрарелягивистское приближение не справедливо Численные значения свидетельствуют о том, что отношение сечений рассеяния существенно отличается от отношения 2 1, полученного из наивных рассуждений основанных на неразличимости двух электронов

Учет радиационных поправок (см гл 7) позволяет улучшить результаты, полученные из этих вычислений в низшем порядке Формулы с такими поправками можно сравнить с более современными данными, полученными при ультрарелятивистских энергиях в электрон позитрон накопительных кольцах Из рис 6.18 мы видим, что в диапазоне квадратов энергий в системе центра масс согласие между теорией и экспериментом прекрасное. Эти данные получены группой, работающей на ускорителе Адона во Фраскати.