6.1.4. Скалярная электродинамика

В качестве последней иллюстрации правил Фейнмана рассмотрим скалярную электродинамику, т. е. электродинамику заряженных бесспиновых частиц

Сравнение предсказаний этой теории с предсказаниями фермионной квантовой электродинамики для основных процессов дает нам возможность прояснить роль спина в последней В теоретическом плане скалярная электродинамика представляет собой интересный случай, поскольку ее лагранжиан взаимодействия содержит производные и отличается от гамильтониана взаимодействия, взятого со знаком минус

Мы начнем обсуждение с лагранжиана свободного заряженного скалярного поля

(отметим, что коэффициент 1/2! здесь отсутствует) и введем в нем электромагнитное поле посредством минимальной замены Добавляя из формулы (6 25) лагранжиан свободного электромагнитного поля, получаем

    (6.51а)

Поскольку в лагранжиан взаимодействия входят производные, канонические импульсы модифицируются следующим образом:

Гамильтониан запишется в виде

Здесь — свободный гамильтониан, определенный формулой (3.76)

дается выражением (пространственный индекс k пробегает значения 1, 2, 3)

Подставляя сюда выражения (6.52), находим . С другой стороны, от канонического преобразования можно перейти к представлению взаимодействия; при этом заменяются соответственно на причем . Таким образом, в этом представлении получаем

Мы видим, что гамильтониан и лагранжиан, взятый с обратным знаком, отличаются на нековариантный член (отметим, что знак перед этим членом изменился), который на первый взгляд представляет опасность для ковариантности теории

Однако, рассматривая в этой теории типичную функцию Грина

мы видим, что хронологические произведения членов с производными представляют собой второй источник нековариантных членов. Чтобы окончательные результаты были ковариантными, эти два типа нековариантных вкладов должны взаимно сокращать друг друга Это в действительности имеет место

Поскольку проблемы, связанные с ультрафиолетовыми расходимостями в теории возмущений, нами пока не рассматриваются, приведем здесь лишь формальное доказательство этого утверждения.

Изучим более внимательно нековариантные спаривания, возникающие благодаря членам с производными. В последующих формулах мы будем опускать индексы . Соответствующие пропагаторы запишутся в виде

    (6,58а)

Нековариантные члены содержатся только в пропагаторах поля поэтому в последующих выкладках поле А можно рассматривать как классическое и анализировать все функции Грина для с помощью производящего функционала

Здесь в ряд по степеням разложена лишь та часть гамильтониана взаимодействия, в коюрую входят производные, поскольку именно она приводит к появлению нековариантных спариваний в соотношении (6.58в). Обозначим далее через Т ковариантное хронологическое произведение, которое совпадает с Т-прсизведением в (6.58), за исклкиением последнего члена в соотношении (6.58в); таким образом, мы имеем

Рассмотрим теперь вклад s нековариантных спариваний

Имеется способов выбора вершин из способов свертывания их в s пар. Каждая нековариантная свертка двух вершин дзет

где неявно предполагается упорядочение по Вику. Следовательно,

Мы видим, что нековариантные спаривания можно объединить в экспоненту, и что их вклад компенсирует нековариантную вершину

Используя определение ковариантного Г-произведения (6.60), можно окончательно записать:

где ковариантный лагранжиан равен

В табл. 6.2 представлены соответствующие правила Фейнмана. В вершине второго типа (диаграмма типа «чайка») наличие множителя 2 обусловлено тем, что квадратичный по А член равен , а не .

Таблица 6.2. Правила Фейнмана для скалярной электродинамики

Напомним также, что в скалярной электродинамике фактор симметрии 1/2 возникает всякий раз, когда сворачиваются пары фотонов, входящих в две диаграммы типа «чайка» (рис. 6.19).

И наоборот, замкнутые скалярные петли, если они ориентированы, не требуют никаких факторов симметрии, поскольку учитываются только топологически различные петли.

РИС. 6.19. Диаграмма скалярной электродинамики, характеризуемая фактором симметрии

Рассмотрим теперь кратко некоторые основные процессы, уже изученные в фермионной электродинамике.

1. Комптоноеское рассеяние

В обозначениях, принятых в разд. 5.2.1, можно записать

РИС. 6.20. Диаграммы низшего порядка для комптоновского рассеяния в скалярной электродинамике.

В низшем порядке теории возмущений вклад дают три диаграммы, представленные на рис. 6.20, но если мы выберем векторы поляризации, удовлетворяющие условию то лишь третья диаграмма дает вклад, отличный от нуля, т. е.

и мы получаем выражение

которое следует сравнить с формулой Клейна — Нишины (5.112).

2. Рассеяние двух одинаковых зарядов

Используем здесь те же обозначения и диаграммы, что и в разд. 6.1.3, а также на рис. 6.12 и 6.13. Тогда в системе центра масс имеем

где

Таким образом, мы получаем выражение

которое следует сравнить с (6.42).

3. Аннигиляция пары в два фотона

Здесь используются обозначения, принятые в разд. 5.2.2, и диаграммы, представленные на рис. 6.20. В результате вычислений получаем

где . Если в конечном состоянии поляризации не измеряются, имеем

Здесь . В нерелятивистском пределе и, следовательно что в два раза больше, чем сечение процесса

4. Тормозное излучение

Используем те же обозначения, что и в разд. 5.2.4; соответствующие диаграммы изображены на рис. 6.21.

РИС. 6.21. Диаграммы низшего порядка для тормозного излучения в скалярной электродинамике.

Выберем вектор поляризации таким образом, чтобы . При этом третья диаграмма (рис. 6.21) не дает вклада, и мы имеем

Суммируя по поляризациям, находим

    (6.68)