7.3. НОВЫЕ ЭФФЕКТЫ

Учет высших порядков теории возмущений приводит к новым явлениям Некоторые из них мы кратко обсудим ниже.

7.3.1. Рассеяние фотона на фотоне

Четырехфотоиное взаимодействие не имеет классического аналога и возникает в результате квантовых флуктуаций виртуальных пар заряженных частиц. С теоретической точки зрения интересно показать, каким образом калибровочная инвариантность и сохранение

тока устраняют оставшуюся возможную расходимость амплитуды, о чем мы упоминали в разд. 7.1

Приведем сначала некоторые соображения размерности. Основная амплитуда (рис. 7.15) имеет порядок так что сечение рассеяния запишется в виде

здесь используются очевидные обозначения импульсов и энергий фотонов. Размерными параметрами являются, например, полная энергия в системе центра масс и масса электрона .

РИС. 7.15. Основная диаграмма фотон-фотонного рассеяния.

Здесь М — безразмерный матричный элемент, так что а имеет естественную размерность площади.

Мы ожидаем, что калибровочная инвариантность позволит выделить четвертую степень импульса из М. Впоследствии мы в этом убедимся. Соответственно величина должна вести себя при малых по крайней мере как . В этом пределе пропорционально Таким образом, можно ожидать, что при низких энергиях сечение имеет вид

где а — числовой коэффициент. Поскольку это сечение чрезвычайно мало вплоть до энергий в сотни килоэлектронвольт. В другом предельном случае, т. е. при массовые сингулярности вследствие сходимости отсутствуют, так что из простых соображений размерности мы получаем

где b — вторая численная константа. Иными словами, очевидно, что при характерных значениях величина а должна иметь максимум.

Мы не будем проводить полных развернутых вычислений, а вместо этого покажем, что результаты, полученные в разд. 4.3 гл. 4, позволяют кайги численное значение константы а из выражения для сечения при низких энергиях. Для этого прежде всего заметим, что лагранжиан Эйлера—Гейзенберга (4.123) включает

суммирование по всем однопетлевым диаграммам. При этом каждая диаграмма интегрируется по рассматриваемому постоянному электромагнитному полю столько раз, сколько в ней имеется внешних линий Следует заметить, что Е и В — линейные функции внешнего импульса Кроме того, в данном порядке по сумма всех диаграмм, полученных путем перестановок индексов внешних линий, является калибровочно-инвариантной. Если процесс происходит на массовой поверхности, то данная сумма, свернутая с вектором поляризации инвариантна относительно замены Отсюда следует, что эта свернутая величина может зависеть от только через комбинации . С точностью до множителя i это есть не что иное, как фурье-образ При этом член, пропорциональный будет включать в себя импульс по крайней мере в четвертой степени Таким образом, в низкоэнергетическом пределе достаточно вычислить коэффициент, стоящий перед произведением при нулевой частоте Если внешние электромагнитные поля совпадают, то этот коэффициент является членом четвертого порядка в эффективном лагранжиане, вычисленном для постоянного поля, который дается выражением (4.125):

Чтобы найти амплитуду рассеяния, нужно просто заменить f на сумму разделить коэффициент при Используя подстановку получим искомую величину в пределе

В целях сокращения обозначений будем рассматривать величину как матрицу, причем след получается суммированием по четырем значениям лоренцева индекса. При этом нетрудно показать, что

Согласно приведенным выше соображениям, амплитуда М записывается в виде

Сечение рассеяния неполяризованных частиц получается усреднением квадрата абсолютной величины М:

В системе центра масс сечение записывается в виде

Чтобы выполнить суммирование по поляризациям, воспользуемся правилом

Утомительные вычисления приводят к результату

Вторая инвариантная комбинация, которая могла бы войти в данное выражение, - это Она равна половине величины, стоящей в квадратных скобках в выражении (7.99). Если — угол рассеяния в системе центра масс, то

Таким образом, дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных фотонов имеет вид

Поскольку фотоны подчинены статистике Бозе, это выражение симметрично по отношению к замене . Поэтому, чтобы получить полное сечение упругого рассеяния, мы должны проинтегрировать лишь по половине полного телесного угла; при этом получаем

Этот результат согласуется с нашими предыдущими оценками и, вледовательно, дает значение искомого коэффициента а

В качестве упражнения мы предлагаем читателю вычислить коэффициент b, входящий в выражение (7.95) для сечения при высоких энергиях Индуцированное взаимодействие фотона с фотоном означает, что возможно когерентное рассеяние на заряженных мишенях; при этом две из линий на диаграмме рис 7.15 относятся к кулоновскому взаимодействию с ядрами. процесс можно связать с рождением пар в поле ядра, а также с комптоновским рассеянием. Альтернативный процесс, который заслуживает внимания, - это так называемое расщепление фотона, когдй фотон, сталкиваясь с мишенью , выбивает из нее два фотона.