4.2.2. Фермионные поля

В случае когда рассматриваются ферми-поля, единственно, что нужно изменить в выражении (4 65), - это знаки. Как и для бозе-полей, выведем тождество, связывающее производящую функцию -произведений с производящей функцией нормальных произведений. В случае бозонных полей мы использовали тождество (4 15) Чтобы при рассмотрении фермионных полей иметь дело только с коммутаторами, введем для антикоммутирующие источники Последние величины антикоммутируют между собой, а также с Подчеркнем, что они играют чисто математическую роль (они являются элементами алгебры Грассмана, т. е. алгебры антикоммутирующих переменных). С их помощыр можно написать тождество

Все остальные коммутаторы величин обращаются в нуль. Введем теперь вспомогательный лагранжиан взаимодействия

и соответствующую -матрицу:

Поскольку коммутатор коммутирует с мы еще раз используем тождество (4.15) и получим

Таким же образом можно разложить на сумму положительно-частотной части, соответствующей уничтожению (знак «+»), и части, соответствующей рождению (знак «-»), и записать

Как и выше, заменим с-число,

его вакуумным средним, т. е. величиной

Вследствие антикоммутативности операторов есть не что иное, как

Заметим, что члены вида исчезли при интегрировании. Мы видим, что это выражение совпадает с определением Т-произведения

фермионных полей [см. выражения (3.173) или

После замены переменной х на у под знаком интеграла оба последних выражения дают один и тот же результат. Окончательно получаем

Единственное отличие этого выражения от соответствующей формулы (4.64), полученной для бозонных полей, состоит в что в показателе последней экспоненты отсутствует коэффициент 1/2, что связано с зарядом фермиона. Если бы мы начали рассмотрение с заряженного неэрмитова бозе-поля А, то пришлось бы написать при этом мы получили бы два одинаковых вклада в показателе экспоненты следовательно, коэффициент 1/2 исчез бы Явные соотношения между хронологическим и нормальным произведениями получаются, если разложить экспоненты, входящие в (4.73) и учесть антикоммутативность величин Например, во втором порядке по полю получим

Отождествляя соответствующие величины, имеем

Заметим, что два последних выражения эквивалентны, поскольку

(здесь и —спинорные индексы). Для компактности можно включить в аргумент поля пространственно-временную координату

индекс Дирака и дискретный индекс, который отличает от . В таких обозначениях получим следующую обобщенную запись теоремы Вика для ферми-полей:

Здесь сумма берется по всем перестановкам, а является знаковой функцией перестановки, которая преобразует набор . Проиллюстрируем это правило примере Г-произведения четырех гголей:

Выражение (4.75) можно свести к вакуумному среднему:

Правая часть выражения (4.76) представляет собой пфаффиан, т. е. корень квадратный из детерминанта антисимметричной матрицы, элементы которой имеют вид