6.2.4. Фукнции Грина в евклидовой области

Функции Грина (скалярной) теории являются функциями инвариантных скалярных произведении их внешних импульсов, представляющих собой вещественные лоренцевы 4-векторы. Из результатов предыдущей главы (а также из раздела 6.2.5) следует, что эти функции обладают свойствами аналитичности и могут быть продолжены в нефизические области. Здесь мы остановимся на вопросе о продолжении евклидову область, в которой теория поля по некоторым свойствам аналогична статистической механике. Формулировкой теории поля в евклидовой области мы заниматься не будем, однако разовьем соответствующую этому случаю теорию возмущений. Вновь для простоты будем применять скалярною теорию.

Рассмотрим сильносвязную функцию и предположим, что ее аргументы удовлетворяют условию

для любых вещественных . Многообразие, удовлетворяющее этому условию, есть линейное пространственно-подобное подпрострачство (гиперпространсво) импульсного пространства. Рассматривая как функцию инвариантов , вычислим размерность всего многообразия, когда отсутствует ограничение (6 92), и размерность подмножества с ограничением (6.92) Разумеется, необходимо помнить, что в четырехмерном пространстве любой набор более чем четырех векторов является линейно-зависимым. Следо вателыю, при векторы линейно-зависимы. Поэтому в случае инварианты принадлежат многообразию размерности и 3 для соответственно). Если принять во внимание условие (6.92), то в случае они принадлежат подмногообразию размерности . При обе размерности совпадают и равны 6 (например, причем при 5 евклидого подмногообразие (6.92) имеет размерность, меньшую размерности всего пространства.

В евклидовой области (6.92) все ортогональны некоторому времениподобному вектору . Используя преобразование Лоренца, можно выбрать , при этом для всех i. Это позволяет сопоставить каждому вектор евклидова -пространства: в такой системе отсчета . Следовательно,

Если теперь выделить диаграмму, дающую вклад в и записать этот вклад в виде (6.89), то можно определить величину т. е. сумму импульсов входящих в вершшу v. Напомним, что каждому «рассечению» С такой диаграммы сопоставляются величины с (6.87) и (6.88)]

Поэтому на многообразии (6.92) выражение (6.90) можно переписать в виде

Напомним, что в подразумевается наличие отрицательной мнимой части. С учетом положительности выражения, стоящего в квадратных скобках в показателе экспоненты (при это позволяет нам повернуть контур интегрирования в комплексной плоскости к (рис. 6.28) на угол (т. е. по часовой стрелке). Последнее, конечно, эквивалентно одновременному повороту на угол всех переменных а в выражении (6.89).

РИС. 6.28. Поворот Вика в параметрическом пространстве (а) и в импульсном пространстве (б). Исходный контур интегрирования указан одиночной стрелкой, а. контур, получающийся в результате поворота, — двойной стрелкой. На рис. б крестиками обозначены положения полюсов

Необходимо подчеркнуть, что добавка играет решающую роль, так как она задает направление поворота. Этот поворот, называемый обычно поворотом Вика, является незаконным, если некоторые оказываются отрицательными. В импульсном пространстве с (6.83)] поворот Вика сводится к повороту на (против часовой стрелки) всех системе отсчета, в которой все Это согласуется с расположением полюсов пропагатора в точках

После осуществления поворота мы получим в евклидовой области

Величина С(G), стоящая перед [ср. с (6.83)], содержит множитель происходящий от разложения до членов степени V. Положим и перепишем (6.93) в виде

Например, в теории имеем . В разд. 6.2.2 мы показали, что сильносвязные функции отождествляются с ), определяемыми с помощью преобразования Лежандра (6.73) и (6.75). Поэтому благодаря наличию дополнительного

множителя i эти функции совпадают с вещественными евклидовыми функциями Грина, т. е.

определяемыми как суммы вкладов от каждой диаграммы. Повторяя те же вычисления, что и в разд. 6.2.3, нетрудно доказать справедливость соотношения

    (6.94)

где - евклидовы -импульсы, Здесь, как и в формуле (6.93), подынтегральное выражение является положительным. Разумеется, Соотношение (6.94) означает, что Г можно вычислить в соответствии с правилами Фейнмана в евклидовом пространстве:

Из этих правил следует, что в области совпадения (6,92) между связными функциями Грина (с внешними пропагаторами) имеет место следующее соотношение:

В конфигурационном пространстве эти функции записываются в виде

где . Введем теперь производящий функционал

и аналогичное выражение для Собирая все множители i в формулах (6.716), (6.72), (6.73) и (6.96), можно непосредственно проверить, что является преобразованием Лежандра от

где связаны соотношением

В низшем порядке теории возмущений евклидов функционал в теории можно

записать в виде

Следует заметить, что член имеет здесь противоположный знак по сравнению с (6.82).

Евклидову теорию можно рассматривать как аналог статистической механики, в которой каждая полевая конфигурация входит С весом . Это станет, по-видимому, более понятным после введения континуальных интегралов в гл. 9 (см. т. 2 настоящей книги)

Предлагаем читателю в качестве упражнения обсудить смысл поворота Вика при наличии полей со спином 1/2; выяснить, что происходит при этом с у-матрицами, а также найти соотношение между . После этого можно будет сформулировать правила Фейнмана для евклидовой квантовой электродинамики.