1.2. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

1.2.1. Фундаментальные инварианты

Рассмотрим снова системы с конечным числом степеней свободы. Главная задача, разумеется, состоит в том, чтобы решить уравнения движения с соответствующими граничными условиями. Общие

свойства движения, такие, как симметрии, являются полезными, поскольку они упрощают вычисления. Их можно использовать также для того, чтобы сузить класс динамических моделей. Примеры этого типа уже рассматривались нами в случае лоренц-инвариантности.

Симметрии могут играть двоякую роль. С одной стороны, они позволяют получать семейства решений из одного данного решения, если некоторые преобразования сохраняют динамические уравнения инвариантными. С другой стороны, они приводят к сохранению таких величин, как заряд, энергия, импульс и т. п. Глубокая связь между этими двумя аспектами и составляет предмет настоящего рассмотрения Мы начнем с очень простого примера. Нерелятивистская точечная частица движется в силовом поле, создаваемым не зависящим от времени потенциалом Положение частицы и ее скорость в момент времени t, отвечающие начальным условиям, заданным в нулевой момент времени, будут те же, что и в момент времени если такие же начальные условия мы зададим в момент времени т. Задача инвариантиа относительно временных трансляций Мы также знаем, что в этом случае энергия (т. е. значение функции Гамильтона) сохраняется. Посмотрим, как связаны оба этих свойства В фазовом пространстве изменение любой функции во время движения описывается уравнением

Инвариантность по отношению к временным трансляциям эквивалентна утверждению, что . Поскольку при этом выполняется соотношение мы действительно получаем

и энергия сохраняется. Этого простого замечания достаточно, например, чтобы явно описать движение, если частица вынуждена двигаться в одном измерении

С другой стороны, рассмотрим действие, вычисляемое на стационарной траектории, проходящей от точки к точке . Инвариантность по отношению к временным трансляциям означает, что

или в дифференциальной форме

Принимая во внимание формулу (1.12), находим, что действительно

Ясно, что закон сохранения вытекает из существования непрерывной группы инвариантности Для пространственных трансляций получаем аналогично

Вспоминая снова формулу (1 12) и дифференцируя по а, находим закон сохранения полного импульса

Предыдущие примеры можно рассматривать как частные случаи формулы, определяющей вариацию стационарного действия, когда изменяется внешний параметр а [см соотношение (1.13)]. Действительно, а можно выбрать как параметр, характеризующий преобразование.

Если имеется также инвариантность относительно вращений, рассмотрим инфинитезимальный поворот на угол вокруг оси :

Та же самая формула приводит к соотношению

Поскольку вектор произволен, мы нашли, следовательно, закон сохранения полного углового момента:

Разумеется, если имеется инвариантность относительно вращения лишь вокруг некоторой оси, то будет сохраняться только соответствующая компонента углового момента.

Таким образом, в том случае, когда динамическая задача обладает симметрией, два стационарных действия 1 (2,1) и равны друг другу (здесь штрихи соответствуют преобразованным граничным условиям) Всякий раз, когда преобразования образуют непрерывную группу, законы сохранения получаются путем дифференцирования по параметрам группы

Однако в действительности симметрии не обязательно непрерывны Примером могут служить четность, обращение времени и частности, в последнем случае мы имеем здесь граничные условия переставлены, время обращено и соответственно Эта инвариантность не приводит к закону сохранения

В заключение постараемся получить вышеупомянутые выражения в форме, удобной для дальнейших обобщений Для конкретности

рассмотрим снова инвариантность относительно вращений. При инфинитезимальном вращении вектор q переходит в Функция Лагранжа предполагается инвариантной, когда R не зависит от времени Принцип наименьшего действия позволяет выразить малые отклонения от стационарной траектории в виде

при условии, что . Используя инвариантность величины L при постоянном , получаем

Следовательно, сохраняющаяся величина пропорциональна

поскольку . В данном случае — это компонента углового момента, направленная вдоль вектора .

Для временных трансляций изложенный метод следует применять с осторожностью Если инфинитезимальный параметр то начальный и конечный моменты времени смещены. Мы полагаем, что причем Вблизи реальной траектории

Инвариантность обычно означает, что этих случаях энергия сохраняется; в более общем случае

Может случиться, что уравнения движения инвариантны, и функция Лагранжа не инвариантна При инфинитезимальном, не зависящем от времени преобразовании к функции L добавляется полная производная по времени Иными словами, в случае зависящей от времени, имеем Таким образом, мы нашли сохраняющуюся величину, которая не равна и явно зависит от времени.

Например, динамическое описание частицы, движущейся под действием постоянной силы, трансляционно инвариантно, но импульс частицы не сохраняется. Функция Лагранжа имеет вид. При трансляции

имеем . Следовательно, интеграл движения что можно было ожидать из общих соображений. Следует отметить, что даже в случае постоянной силы F эта величина явно зависит от времени. Разумеется, невозможно физически осуществить такую силу во всем пространстве, как это требуется трансляционной инвариантностью

Обобщение этих выражений на случай бесконечных систем не вызывает трудностей. Мы будем различать два типа симметрий. Первый тип симметрии соответствует геометрическим преобразованиям пространства и времени, при которых лагранжиан переходит в , где х — преобразованная точка (см. разд. 1.2.2). Симметрии второго типа оставляют лагранжиан инвариантным и называются внутренними (см. разд. 1.2.3). Симметрии играют столь фундаментальную роль, что мы посвятим главу 11 их более глубокому изучению.