7.1.2. Электронный пропагатор

Первый нетривиальный вклад в одночастичную неприводимую функцию Грина с двумя внешними электронными линиями (называемый также собственной энергией электрона) представлен графически на рис. 7.7 и записывается следующим образом:

РИС. 7.7. Собственная энергия электрона в низшем порядке.

К сожалению, данное выражение, представляющее собой -матрицу, зависящую от , страдает всеми возможными пороками. Оно имеет очевидную линейную ультрафиолетовую расходимость (это означает, что при больших k интеграл ведет себя как ). Мы покажем, что эту расходимость можно свести к логарифмической. При малых k и частных значениях внешнего

импульса могут иметь место также инфракрасные расходимости; чтобы избавиться от них, будем удерживать Кроме того, должна быть зависимость от выбора калибровки, как и у волновой функции заряженной частицы в нерелятивистской физике.

Чтобы иметь дело с разумными величинами, необходимо, как и прежде, провести регулярностью свободных пропагаторов Во избежание громоздких обозначений предположим, что введено необходимое обрезание которое не будем указывать явно. Напишем выражение

таким образом, что соответствует фейнмановской калибровке и используем параметрическое представление пропагаторов, чтобы функции после интегрирования по импульсу петли k можно было записать в виде

    (7.27а)

Подразумевается, что массы включают бесконечно малые отрицательные мнимые добавки, обеспечивающие сходимость при больших а.

Как и в случае фотонов, будем классифицировать собственноэнергетические части по числу петель, а сам пропагатор запишем в виде суммы ряда (рис 7.8)

Вычислим теперь функцию , где мы должны ввести обрезание при интегрировании по — общему коэффициенту растяжения

параметров а:

Благодаря выделению кинематических факторов тир интеграл по расходится только логарифмически, в противоположность линейной расходимости собственной массы в классической теории (см. гл. 1).

РИС. 7.8. Пропагатор электрона, представленный в виде степенного ряда по собственной энергии

Если бы масса была столь велика, что выполнялись бы условия соответствующие статическому классическому пределу, то мы снова имели бы линейную расходимость по .

Чтобы получить релятивистски инвариантную регуляризацию, из можно вычесть вклад массивного фотона, в котором следует заменить на . Таким образом, используемая здесь величина не связана с той, которая ргссматрипалась в случае поляризации вакуума. Если имеется ьеобходимость изучать зависящие от части при больших, но когечгых значениях параметра обрезания, то разумно было бы ввести единообразную процедуру регуляризации, В соответствии с этим произведем замену:

где при мы пренебрегли по сравнению с всеми другими массовыми параметрами. Тождество

позволяет нам написать следующее выражение:

Мы видим, что коэффициенты при линейном по члене зависят от таким образом, что остальная часть выражения остается конечной.

Из-за наличия инфракрасных расходимостей ситуация несколько усложняется. До тех пор пока остается конечным, квадратичная форма, имеющаяся под знаком логарифма, положительна пои Действительно, для и значений находящихся ниже порога, мы имеем и, следовательно,

В этой области величина является «вещественной», т. е. Выше порога приобретает «мнимую» часть, соответствующую переходу:

Это аналогично тому, что происходит с фотонным пропагатором выше порога образования пар Причина для беспокойства состоит здесь в том, что при порог совпадает с физической массовой поверхностью . В реальном случае полюс в пропагаторе, соответствующий свободному электрону, нельзя изолировать от разреза, начинающегося в той же самой точке. Этим объясняется наше стремление сохранить . Когда один из нулей квадратичной формы достигает предела интервала интегрирования и разложение в окрестности сингулярной точки становится невозможным.

Похожее, но отличающееся явление наблюдается также при рассмотрении фошнного пропагатора в более высоких порядках (четыре или более петель), соответствующих промежуточным состояниям с тремя, пятью и т. д. фотонами. Для фотонного пропагатора на больших расстояниях это дает степенные поправки с очень небольшими коэффициентами. Из-за его малости этот эффект еще не был измерен.

Мы можем, однако, для значений перейти к пределу не столкнувшись с сингулярностями. В этом случае интеграл в выражении (7.30) сильно упрощается, и мы можем написать его в виде

При это выражение остается конечным, но его производные становятся бесконечными.

Подстановка этого выражения для собственной энергии в формулу (7.28), очевидно, сдвигает положение полюса пропагатора и изменяет значение вычета в нем. Снова возможны два эквивалентных подхода В первом из них называют параметрами исходного лагранжиана, величина определяется как измененное положение полюса, а функция Грина переопределяется через физическую массу и константу связи. Во втором подходе голые параметры вообще не рассматриваются, а в лагранжиан вводятся контрчлены таким образом, чтобы сохранить положение полюса и вычет в нем неизменными.

Мы можем добиться этого, разложив величину , рассматриваемую как функцию от в окрестности :

В первом порядке по К можно пренебречь множителем , стоящим перед , тогда первое выражение становится разложением в ряд Тейлора, поскольку

Однако более понятной является следующая запись этого выражения:

В фейнмановской калибровке для получения величин мы используем выражение (7.30). В действительности, при вычислении мы можем пренебречь инфракрасными расходимостями и воспользоваться выражением (7.31), откуда следует

Для того чтобы найти нужно вернуться к (7.30) и удержать там вклады, сингулярные или конечные при Это дает

Перенормированное значение величины получается с помощью вычитания величины Используя в области выражение (7.31), находим

В случае при аналитическом продолжении в область, лежащую выше разреза, начинающегося при логарифм приобретает мнимую часть: . Соответствующая абсорбтивная часть функции в пределе равна

Исследовать поведение в окрестности точки приходится отдельно Если требовать, чтобы перенормировка производилась на массовой поверхности, появляются дополнительные инфракрасные особенности, первоначально отсутствовавшие в выражении (7.31).

Посмотрим, как изменятся наши результаты, справедливые в фейнмановской калибровке, при переходе к произвольной калибровке Иными словами, нам нужно вычислить функцию которая в импульсном пространстве записывается в виде

Обозначим вклады трех последовательных членов, стоящих в подынтегральном выражении, соответственно через При условии что используется ковариантная регуляризация, вклад вследствие нечетности по k обращается в нуль (он может быть лишь пропорциональным величине , но соответствующий интеграл не зависит от Мы видим, что после регуляризации обращается в нуль при и, следовательно, не дает вклада в . Действительно, вклад не содержит ультрафиолетовой расходимости. Однако его производная в точке имеет инфракр: сную особенность; при этом величина должна оставаться конечной, чтобы можно было выделить вклад в перенормировку волновой функции, т. е. в . Наконец, член имеет логарифмическую ультрафиолетовую расходимость, но не имеет инфракрасных

расходимостей, В случае находим

Вблизи массовой поверхности первую квадратную скобку следует заменить выражением

Следовательно, величину можно представить в виде суммы перенормированной части и части, убывающей линейно по при мы имеем

Отсюда получаем

В формулах (7.39) и (7.40) используется тот же параметр обрезания , что и при вычислении .

Рассматривая комбинацию мы видим, что при инфракрасном сингулярном члене стоит коэффициент, пропорциональный величине Выбирая (Йенни и Фрид), можно устранить инфракрасные расходимости в рассматриваемом приближении. В пределе этому выбору А, соответствует пропагатор . В результате функция также свободна от инфракрасных особенностей.

Теперь нужно скомпенсировать ультрафиолетовые расходимости, добавляя к лагранжиану контрчлены таким образом, чтобы сохранить правильные значения физических параметров. Исходный лагранжиан содержит член . Он заменяется на величину . Это означает, что в первом порядке мы добавляем к лагранжиану член

где

Следует заметить, что не зависит от выбора калибровки (что физически вполне разумно) и расходится лишь логарифмически. Член добавленный к лагранжиану, будет давать вклад в сильносвязную двухточечную функцию (рис. 7.9). В соответствии с определением (7.25) это приведет к вычитанию из и обеспечению того, чтобы была действительно физической массой.

РИС. 7.9. Графическое представление однопетлевых контрчленов к электронной двухточечной функции.

В смысле формального степенного разложения мы имеем в первом порядке . Таким образом, контрчлен

где

компенсирует в первом порядке расходящийся член в Оставшийся конечный пропагатор будет иметь полюс при с вычетом, равным единице.

Замечания

1. В первом порядке по мы не можем различить контрчлены поскольку

2. В калибровке Ландау (к ) ультрафиолетовые расходимости в в первои порядке сокращаюкя К сожалению, не существует какой либо единый выбор калибровки, коюрая бы устраняла в рамках теории возмущении все ультрфиолеювые расходимости

3. Все введенные нами до сих пор конгрчлены имеют структуру, аналогичную различным членам исходного лагранжиана, а это указывает на то, что программа перенормировки находится на пути к успеху.

Первый, кто отметил, что собственная масса электрона расходится только логарифмически, был Вайскопф (1939 г.). Полный расчет впервые был выполнен Карплусом и Кроллом в 1950 г.