2.1.3. Релятивистская ковариантность

Проверим теперь, соответствует ли уравнение Дирака принципу относительности, т. е. сохраняет ли оно свой вид в двух системах отсчета, связанных преобразованием Пуанкаре. Иными словами, мы требуем, чтобы систему, описываемую в данной системе отсчета уравнением с определенными граничными условиями, с помощью преобразований Пуанкаре можно было связать с семейством состояний, удовлетворяющих тому же уравнению с преобразованными граничными условиями.

Обращаясь к первой точке зрения (независимость от наблюдателя), прежде всего замечаем, что трансляционная инвариантность выполняется с очевидностью. Рассмотрим преобразование Лоренца А. Пусть наша система описывается волновой функцией , а в преобразованной системе — волновой функцией Обе функции должны удовлетворять уравнению Дирака:

причем

Должно существовать локальное соотношение между и такое, чтобы наблюдатель в преобразованной системе отсчета мог восстановить если задана . Мы предполагаем, что это соотношение линейно:

где — несингулярная 4х4-матрица. Уравнение (2.9в) теперь запишется в виде

Чтобы это уравнение следовало из (2.96) для любого и поскольку должно выполняться равенство

Построим сначала для инфинитезимального собственного преобразования А, которое можно записать в виде

где инфинитезимальная матрица антисимметрична. Запишем выражения

где матрицы антисимметричны по . В первом порядке по со из уравнения (2.15) получаем

Матрицы удовлетворяющие этому соотношению, даются выражением

Конечное преобразование записывается в виде

где теперь конечная величина.

Для пространственных вращений унитарно, а для лоренцевых бустов оно эрмитово.

Формулы конечных преобразований наиболее легко вывести в киральном представлении у-матриц:

В этом представлении два спинора Паули в разложении биспинора преобразуются независимо при вращениях и бустах. Представление группы Лоренца [а точнее, ее накрывающей группы ] приводимо к сумме двух неэквивалентных представлений . Однако мы увидим, что это представление неприводимо, если включить в него преобразование четности (пространственное отражение).

Напомним, что представления группы Пуанкаре классифицируются по собственным значениям двух операторов Казимира есть оператор энергии-импульса, который является генератором трансляций, тогда как строится из оператора углового момента J (генератора преобразований Лоренца) следующим образом:

    (2.21)

Если обозначает собственное значение оператора то принимает лишь значения вида

где спин S является целым или полуцелым.

Для решений уравнения Дирака и, следовательно, уравнения Клейна—Гордона принимает значение в то врем» как дается формулой

откуда следует

Вычислим теперь W по формуле (2 21):

    (2.21а)

Вклад орбитальной части момента исчезает, тем самым подтверждается, что соответствует собственному угловому моменту. Используем далее тождество

здесь в первом выражении индекс (или соответственно) принимает значения , а во втором происходит суммирование по всем перестановкам индексов .

После некоторых алгебраических выкладок с использованием уравнения Дирака мы приходим к выражению

Таким образом, уравнение Дирака описывает частицы со спином 1/2.

В заключение найдем закон преобразования спинора при пространственном отражении. Нам снова нужно найти , удов легворяющее соотношению (2.15), где А обозначает матрицу, определяемую в виде

Нетрудно заметить, что

и есть искомое преобразование. Здесь является произвольным ненаблюдаемым фазовым множителем. Следует отметить важное обстоятельство, что решения с положительной и отрицательной энергиями имеют по отношению друг к другу противоположные четности, соответствующие двум противоположным собственным значениям После переосмысливания решений с отрицательной энергией это будет означать, что частицы и античастицы имеют противоположную внутреннюю четность.

В дальнейшем изложении важную роль будут играть различные билинейные формы, построенные из Остальную часть данного раздела мы посвятим изучению трансформационных свойств этих функций при преобразованиях Лоренца. Из (2.14) получаем

где второе выражение проверяется с помощью явных выражений (2.19) для [и выражения (2.26) для преобразования пространственного отражения]. Таким образом, билинейная форма преобразуется по формуле

Например, из (2.15) мы замечаем, что преобразуется как 4-вектор:

тогда как — это (не положительно-определенная) скалярная плотность.

Вообще говоря, любую матрицу 4x4 можно разложить по базису из 16 матриц. Можно показать, что алгебра, образуемая у-матрицами, алгебра Клиффорда, как ее принято называть у математиков, — это не что иное, как полная алгебра матриц 4x4. Введем обозначение

В представлении (2.10)

Матрица удовлетворяет условию

Рассмотрим теперь 16 матриц:

Они имеют следующие свойства:

2. Для любой матрицы существует матрица такая, что

3. Таким образом, след всех за исключением равен нулю:

4. Для любой пары существует матрица такая, что с точностью до множителя ±1 или

5. Из перечисленных свойств следует вывод о линейной независимости совокупности матриц Предположим, что

Умножая это соотношение последовательно на все и вычисляя след, получаем для любых а.

6. Справедливы следующие тождества:

В Приложении приведен список этих и других полезных тождеств.

Используя данный базис, запишем теперь свойства соответствующих билинейных форм по отношению к собственным преобразованиям Лоренца и пространственным отражениям

(скаляр),

(вектор),

(антисимметричный тензор),

(псевдовектор),

(псевдоскаляр).

Приставка «псевдо» относится к пространственному отражению, а означает, что