7.1.3. Вершинная функция

После изучения двухточечных функций обратимся теперь к рассмотрению трехточечной вершинной функции На рис. 7.10 представлена единственная одночастично неприводимая диаграмма, относящаяся к этому процессу. Она дается выражением

В тех же обозначениях величина нулевого порядка равна Полную одночастично неприводимую трехточечную функцию соответственно запишем в виде

причем первый ненулевой вклад в определяется выражением (7.45)

Если вспомнить о том, что электромагнитное взаимодействие вводится с помощью минимальной подстановки то можно предположить, что между электронным пропагатором и вершинной функцией существуй тесная свяь

РИС. 7.10. Однопетлевая вершинная диаграмма.

Действительно, указанная связь выражается тождеством Уорда.

Рассмотрим все возможные вставки внешней фотонной линии, отвечающей нулевому импульсу, во внутренние пропагаторы заряженных частиц, которые входят в диаграмму собственной энергии электрона (рис. 7.11).

РИС. 7.11. Вставка внешней фотонной линии в диагоамму собственной энергии электрона, приводящая к тождеству Уорда.

Член нулевого порядка дает то время как однопетлевой вклад, представленный на диаграммах рис 7.11, приводит к замене: и т. д. Графическое соответствие можно интерпретировать следующим образом В каждом внутреннем пропагаторе заряженной частицы собственно-энергетической диаграммы мы заменяем протекающий импульс разностью где А — некоторый Достоянный -вектор. Затем полученное выражение

разлагается в ряд по степеням и определяется коэффициент при линейном члене. Это есть не что иное, как . Применяя этот рецепт, например, к однопетлевому вкладу в находим

Поскольку справедливо равенство

после дифференцирования его правой части и приравнивания А нулю мы лучим выражение для , согласующееся с (7.45).

Может быть задан вопрос: все ли вершинные диаграммы учитываются в результате такой операции? Ответ очевиден: не все. Рассмотрим в собственно-энергетической диаграмме внутреннюю замкнутую фермионную петлю.

РИС. 7.12. Пример диаграммы, которая не может быть получена с помощью процедуры, описанной в тексте.

Согласно теореме Фарри, к такой петле присоединено только четное число фотонных линий (если мы условились рассечь каждую внутреннюю фотонную линию, начинающуюся и заканчивающуюся на этой петле). Опять-таки по теореме Фарри невозможно прийти с помощью рассмотренной выше процедуры к вкладу от вершины, в которой внутренняя фермионная петля присоединена к остальной части диаграммы нечетным числом фотонных линий, например так, как изображено на рис. 7 12. Это означает, что мы получаем только такие диаграммы, в которых внешняя фотонная линия присоединяется к фермионной, через которую протекает поток заряда, начинающийся во внешней линии. На первый взгляд это можег причинить затруднения, если нам действительно нужно нзйти соотношение между и . К счастью, вклад суммы всех диаграмм, в которых внешняя линия присоединена всеми возможными способами к внутренней электронной петле, обращается в нуль, если его вычислять при нулевом переданном импульсе q. В этом можно убедиться

с помощью соответствующей регуляризации петли по Паули — Вилларсу, выделяя фактор вида

в котором сумма всех импульсов входящих в петлю, равна нулю. Как и прежде, воспользуемся тождеством

Суммируя по всем возможным вставкам внешнего фотона при фиксированных значениях импульсов внутренних фотонов, мы получаем в подынтегральном выражении полную производную. При этом интеграл при условии, что он регуляризован калибровочноинвариантным образом, обращается в нуль. Отсюда можно сделать заключение, что рассмотренный выше рецепт вставок внешних фотонных линий применим лишь к выделенному набору электронных пропагаторов, несущих поток внешних зарядов Можно показать, что тот же набор пропагаторов несет поток импульса электрона, а потому использованный нами рецепт эквивалентен взятию производной по этому импульсу. В результате мы приходим к тождеству Уорда

    (7.47а)

Если учесть вклад нулевого порядка, это тождество принимает вид

В следующей главе мы обобщим тождество Уорда на случай ненулевого переданного импульса в форме, предложенной Такахаси:

и обсудим его связь с законом сохранения тока. Нетрудно показать, что тождество (7.47 а) следует из (7.48). Доказательство, приведенное выше в общих чертах, очевидно, требует дополнительного внимания. В частности, необходима соответствующая калибровочно-инвариантная регуляризация. Фактически одна из целей перенормировки в квантовой электродинамике состоит именно в том, чтобы преобразовать формальные тождества Уорда—Такахаси в соотношения между перенормированными конечными величинами.

Вернемся снова к однопетлевому приближению и опустим индекс 1. Из выражения (7.45) следует, что разность конечна, а величина вычисляется при помощи тождества Уорда по заданной функции . Это означает, что

Определим (бесконечную) константу перенормировки вершинной части из выражения

    (7.496)

При вычислении в первом порядке множитель стоящий перед перенормированной поправкой к вершине, можно снова заменить единицей, а нормировано требованием, чтобы на массовой поверхности и при нулевом переданном импульсе ее матричный элемент между дираковскими спинорами обращался в нуль, т. е.

Очевидно, что разность обращается в нуль, когда равен нулю и матричный элемент оператора , поскольку этот оператор пропорционален величине . Сравнивая (7.49а) и (7 496), приходим к заключению, что

    (7.51а)

Тождество Уорда остается справедливым и в теории с массивными фотонами. Мы предоставляем читателю убедиться самому в том, что однопетлевой контрчлен вида

действительно устраняет в первом порядке логарифмическую расходимость вершинной части.

Нам осталось вычислить . Ограничимся рассмотрением случая, когда находятся на массовой поверхности, а обкладками для являются дираковские спиноры, т. е. и . Однако не будем выписывать спиноры в явном виде, а воспользуемся соотношением Гордона

Величина, которую мы собираемся вычислить, имеет калибровочно-инвариантную конечную часть. Действительно, в формуле (7.45) член, пропорциональный включает интеграл от выражения

В этом выражении можно заменить К справа на а слева — на и таким образом найти величину, не зависящую от , которая в силу условия нормировки поглотится в Относительно величины известно, что она зависит от выбора калибровки. Положим и запишем

Используя уравнение массовой поверхности, числитель этого выражения можно переписать в виде

Рассмотрим следующий вспомогательный интеграл

Вводя в подынтегральном выражении множитель мы можем путем дифференцирования получить искомое выражение в числителе величины После симметризации по находим следующее представление:

где мы положили . При интегрировании по параметру однородности величин обнаруживается предполагаемая логарифмическая особенность; ее можно вычесть с учетом условия нормировки (750). Заметим, что если лежат на

массовой поверхности. Выполнив поворот Вика мы получим

поскольку в соответствии с (7.516) ренормировка в первом порядке вершинной функции на массовой поверхности равносильна вычитанию при . Выделим теперь формфакторы определяемые соотношением

Разумеется, вклады в эти формфакторы вычисляются лишь с точностью до а. Учет нулевого порядка добавляет к единицу. Таким образом,

Переданный импульс можно параметризовать с помощью гиперболического угла следующим образом:

Проще всего вычислить магнитный формфактор . В рассматриваемом порядке он не содержит инфракрасную расходимость, и мы можем положить Интегрирование по а, дает

Вводя новый параметр однородности, это выражение можно переписать в виде

Последний интеграл нетрудно вычислить, переходя к переменной интегрирования Таким образом,

В частном случае, когда ,

Займемся теперь вычислением учитывая наличие инфракрасной расходимости. После интегрирования по находим, что можно записать как сумму четырех членов:

где постоянная выбирается из условия, чтобы Вычислим в пределе малых . Запишем сначала выражение для

Вводя с помощью соотношения новую переменную

преобразуем интеграл к виду

Остальные имеют вид

Учитывая нормировку, получаем окончательное выражение для

В окрестности точки мы имеем так что главный член по можно записать в виде

Это означает, что полное выражение ренормированной вершинной функции, стоящей между спинорными обкладками, имеет вид

С помощью аналитического продолжения в область комплексных значений получаем для положительных значений Полагая, например, находим выражение, справедливое для значений , лежащих в области в котором

остаются вещественными в рассматриваемом порядке:

где

Предлагаем читателю полезное упражнение, а именно продолжить эти выражения в область значений лежащую выше порога и дать интерпретацию мнимой части формфакторов. Каково их поведение при больших