3.1.4. Хронологическое произведение

Действуя на состояние, оператор рождает частицу с зарядом или уничтожает античастицу с зарядом —1. В любом случае к полному заряду добавляется Аналогично, действуя на состояние оператором мы уничтожаем единичный заряд. Можно рассматривать совместное действие двух операторов, оставляющее полный заряд инвариантным, двумя способами в зависимости от знака . Если , то сначала в момент времени t оператор рождает частицу, а в более позднее время t оператор ее уничтожает. Соответствующая амплитуда определяется средним значением оператора

В случае же когда оператор рождает античастицу, которая затем уничтожается оператором в момент времени t с амплитудой

В обоих случаях заряд увеличивается в точке х и уменьшается в точке х независимо от причинных связей. В случае вместо того чтобы говорить о рождении античастицы в точке х, поглощенной впоследствии в х, можно сказать, что в х образовалась дырка, которая будет заполнена в более позднее время t. Таким образом мы воспроизводим дырочное описание Дирака (см. главу 2).

Сумма операторов (3.85) и (3.86) представляет собой хронологическое произведение Дайсона

названное так потому, что операторы под знаком Г-произведения расположены справа налево в порядке возрастания временных аргументов Бозонные операторы, очевидно, коммутируют под знаком хронологического произведения.

Подействуем на хронологическое произведение (3.87) оператором . При этом необходимо соблюдать осторожность, поскольку ступенчатые функции зависят от времени; следовательно, мы должны получить не нуль, а обобщенную функцию, сосредоточенную при совпадающих временах. Действительно,

здесь мы воспользовались тем фактом, что

Из (3.77) и (3.57) следует, что

Используя равенство находим

Если бы поле удовлетворяло уравнению а не однородному уравнению Клейна — Гордона, то уравнение (3.88) следовало бы заменить на уравнение

Отсюда мы получаем, что вакуумное среднее

представляет собой одну из функций Грина оператора Клейна — Гордона. Простое вычисление показывает, что это действительно скалярный пропагатор Фейнмана, встречавшийся в гл. 1:

Мы приходим к выводу, что квантование свободного релятивистского скалярного поля дает удовлетворительное описание бесспиновых невзаимодействующих частиц, подчиняющихся статистике Бозе—Эйнштейна, как обладающих зарядом, так и без заряда. В отсутствие взаимодействий число квантов поля сохраняется.