Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.2.4. Вакуумные флуктуацииПрежде чем погрузиться в изучение соответствующих нелинейных задач, полезно сначала рассмотреть простые эффекты, которые возникают при квантовании поля. Особый интерес представляют те эффекты, которые на первый взгляд не являются прямым следствием концепции частиц, в данном случае — фотонов. Мы дадим схематическое описание двух таких ситуаций, которые связаны с возможностью наблюдения изменений в вакуумных флуктуациях. С такими явлениями нам уже приходилось сталкиваться при обсуждении в гл. 2 интерпретации лэмбовского сдвига, предложенной Белтоном. Мы можем включить в рассмотрение простые макроскопические источники, изменяя граничные условия для поля, которое до сих пор рассматривалось в свободном пространстве. Эта процедура не совсем удовлетворительна, поскольку она не описывает микроскопический механизм, приводящий к этим граничным условиям. Однако она удобна для простых вычислений. Казимир впервые в 1948 г. указал, что в вакууме электромагнитное поле в действительности не исчезает, а испытывает флуктуации (см. раздел 3.1.2). Если мы вносим макроскопические тела, которые даже не имеют заряда, необходимо выполнить определенную работу, чтобы установить соответствующие новые граничные условия. Невозможно предугадать знак этого эффекта, поэтому работа здесь понимается в алгебраическом смысле, а именно как различие в энергиях нулевых колебаний двух конфигураций. Первоначально не учитывался (бесконечный) вклад Проиллюстрируем это положение на примере простой конфигурации. Рассмотрим две большие идеально проводящие параллельные пластины — пример, который впервые изучался Казимиром Разумеется, для этой цели можно изучать различные конфигурации и различные материалы; результаты получаются аналогичными, за исключением, возможно, того, что эффект будет иметь другой знак. Пусть пластины представляют собой квадраты со стороной длины L и расположены на расстоянии а друг от друга (рис. 3.1), причем
РИС. 3.1. Эффект Казимира в случае двух параллельных пластин, Ее производная равна силе, действующей на единицу поверхности и имеет размерность Рассмотрим моды колебаний в объеме
Разумеется, мы видим, что это выражение не имеет смысла, поскольку оно приводит к бесконечности. Но мы должны вычесть свободную энергию, которая в тот же объем вносит следующий вклад:
Следовательно, энергия на единицу поверхности дается выражением
Очевидно, что из-за ультрафиолетовых (при больших k) расходимостей эта величина все еще не определена. Однако для длин волн меньших, чем размеры атома, приближение идеального проводника не является реалистичным. Поэтому введем в последние подынтегральные выражения гладкую функцию обрезания
Здесь мы определили функцию
Замена суммы интегралом оправдана в силу того, что благодаря присутствию функции обрезания мы имеем абсолютную сходимость. При Маклорена:
Здесь числа Бернулли
откуда находим
Предположим, что
При этом сила на единицу площади
Мы видим, что ее знак соответствует притяжению. Эту крошечную силу экспериментально обнаружил в 1958 г. Спарни, который смог измерить не только ее величину, но и зависимость ее от расстояния между пластинами! Полученные здесь результаты могут быть подвергнуты критике, поскольку мы не учитывали эффекты вне пластин. Однако в рассмотренном нами примере они полностью сокращаются. Из рассмотрений, проведенных в данном разделе, можно сделать общий вывод, что вакуумные флуктуации проявляются в условиях, сильно отличающихся от тех, при которых происходит рождение -и поглощение частиц. Изучая влияние различных типов тел на конфигурацию вакуума, можно дать интересное объяснение силам, действующим на них. Этот ход рассуждений следует иметь в виду. В нем можно узнать один из истоков швингеровского подхода к явлениям теории квантованных полей, основанном на источниках. В качестве другого примера рассмотрим кратко силы Ван-дер-Ваальса, действующие между нейтральными атомами или молекулами. Для этого исследуем флуктуации поля в присутствии двух систем, весьма похожих на рассмотренные выше. Затем мы должны были бы получить микроскопическое описание эффекта Казимира для макроскопических тел, используя остаточные силы между составляющими. Но в действительности мы не будем так поступать, а последуем описанию, данному Файнбергом и Сачером. Более подробное исследование этого вопроса дается в гл. 7. В гл. 1 мы показали, что классическая плотность энергии электромагнитного поля равна
Попробуем дать релятивистское феноменологическое квантовое обобщение этого результата. Наша цель состоит в том, чтобы записать соответствующую взаимодействию часть лагранжиана таким образом, что после ее интегрирования по трехмерному пространству в статическом поле и в не релятивистском пределе мы получим приведенное выше выражение с обратным знаком. Нейтральную систему можно описать некоторым эрмитовым скалярным полем
где
Наше стремление получить лагранжиан по
Это дает
откуда получается обычное кулоновское взаимодействие
Вернемся теперь к нашему случаю. Нас, очевидно, интересуют функции Грина квадратичных операторов, таких, например, как
Этот результат, впервые полученный Казимиром и Полдером, не согласуется с не релятивисте кой теорией сил Ван-дер-Ваальса, которая дает потенциал, спадающий как
и укажем область его применимости. Там мы объясним, почему это выражение отличается от нерелятивистского закона
|
1 |
Оглавление
|