3.2.4. Вакуумные флуктуации

Прежде чем погрузиться в изучение соответствующих нелинейных задач, полезно сначала рассмотреть простые эффекты, которые возникают при квантовании поля. Особый интерес представляют те эффекты, которые на первый взгляд не являются прямым следствием концепции частиц, в данном случае — фотонов. Мы дадим схематическое описание двух таких ситуаций, которые связаны с возможностью наблюдения изменений в вакуумных флуктуациях. С такими явлениями нам уже приходилось сталкиваться при обсуждении в гл. 2 интерпретации лэмбовского сдвига, предложенной Белтоном.

Мы можем включить в рассмотрение простые макроскопические источники, изменяя граничные условия для поля, которое до сих пор рассматривалось в свободном пространстве. Эта процедура не совсем удовлетворительна, поскольку она не описывает микроскопический механизм, приводящий к этим граничным условиям. Однако она удобна для простых вычислений. Казимир впервые в 1948 г. указал, что в вакууме электромагнитное поле в действительности не исчезает, а испытывает флуктуации (см. раздел 3.1.2). Если мы вносим макроскопические тела, которые даже не имеют заряда, необходимо выполнить определенную работу, чтобы установить соответствующие новые граничные условия. Невозможно предугадать знак этого эффекта, поэтому работа здесь понимается в алгебраическом смысле, а именно как различие в энергиях нулевых колебаний двух конфигураций. Первоначально не учитывался (бесконечный) вклад в гамильтониан на том основании, что он ненаблюдаем. Однако его изменения можно измерить.

Проиллюстрируем это положение на примере простой конфигурации. Рассмотрим две большие идеально проводящие параллельные пластины — пример, который впервые изучался Казимиром Разумеется, для этой цели можно изучать различные конфигурации и различные материалы; результаты получаются

аналогичными, за исключением, возможно, того, что эффект будет иметь другой знак. Пусть пластины представляют собой квадраты со стороной длины L и расположены на расстоянии а друг от друга (рис. 3.1), причем Рассмотрим энергию на единицу поверхности проводника по отношению к вакууму.

РИС. 3.1. Эффект Казимира в случае двух параллельных пластин,

Ее производная равна силе, действующей на единицу поверхности и имеет размерность — масса, L — длина, время). В задачу входят только величины k, c и расстояние между пластинами а (граничные условия, состоящие в том, что вектор Е перпендикулярен, а В параллелен пластине на внутренней поверхности, не вводят никаких размерных величин). Несомненно, как и нулевая энергия, результат пропорционален . Следовательно, из соображений размерности мы получаем, что сила на единицу поверхности должна быть пропорциональна величине Ниже мы покажем, что это будет сила притяжения.

Рассмотрим моды колебаний в объеме учитывая, что и пренебрегая вкладом, вносимым краями пластин. Известно, что вклад в энергию вносят лишь поперечные моды. Если компонента перпендикулярная поверхности пластин, отлична от нуля, то она может принимать лишь дискретные значения чтобы узлы располагались на пластинах, при этом имеются два состояния поляризации. Однако если обращается в нуль, то остается только одна мода, и энергия нулевых колебаний данной конфигурации записывается в виде

Разумеется, мы видим, что это выражение не имеет смысла, поскольку оно приводит к бесконечности. Но мы должны вычесть свободную энергию, которая в тот же объем вносит следующий вклад:

Следовательно, энергия на единицу поверхности дается выражением

Очевидно, что из-за ультрафиолетовых (при больших k) расходимостей эта величина все еще не определена. Однако для длин волн меньших, чем размеры атома, приближение идеального проводника не является реалистичным. Поэтому введем в последние подынтегральные выражения гладкую функцию обрезания , которая равна единице при и обращается в нуль при , где имеет порядок обратной величины размера атома. Положим тогда

Здесь мы определили функцию

Замена суммы интегралом оправдана в силу того, что благодаря присутствию функции обрезания мы имеем абсолютную сходимость. При получаем Для вычисления разности между суммой и интегралом, стоящей в квадратных скобках последнего выражения для можно использовать формулу Эйлера —

Маклорена:

Здесь числа Бернулли определяются с помощью ряда

откуда находим . Мы имеем

Предположим, что , а все ее производные обращаются в нуль при нулевом значении аргумента, так что а все производные функции F более высокого порядка равны нулю. Таким образом, в окончательный результат параметр обрезания не входит:

При этом сила на единицу площади дается выражением

Мы видим, что ее знак соответствует притяжению.

Эту крошечную силу экспериментально обнаружил в 1958 г. Спарни, который смог измерить не только ее величину, но и зависимость ее от расстояния между пластинами!

Полученные здесь результаты могут быть подвергнуты критике, поскольку мы не учитывали эффекты вне пластин. Однако в рассмотренном нами примере они полностью сокращаются. Из рассмотрений, проведенных в данном разделе, можно сделать общий вывод, что вакуумные флуктуации проявляются в условиях, сильно отличающихся от тех, при которых происходит рождение -и поглощение частиц. Изучая влияние различных типов тел на конфигурацию вакуума, можно дать интересное объяснение силам, действующим на них. Этот ход рассуждений следует иметь в виду.

В нем можно узнать один из истоков швингеровского подхода к явлениям теории квантованных полей, основанном на источниках.

В качестве другого примера рассмотрим кратко силы Ван-дер-Ваальса, действующие между нейтральными атомами или молекулами. Для этого исследуем

флуктуации поля в присутствии двух систем, весьма похожих на рассмотренные выше. Затем мы должны были бы получить микроскопическое описание эффекта Казимира для макроскопических тел, используя остаточные силы между составляющими. Но в действительности мы не будем так поступать, а последуем описанию, данному Файнбергом и Сачером. Более подробное исследование этого вопроса дается в гл. 7. В гл. 1 мы показали, что классическая плотность энергии электромагнитного поля равна Нейтральная система может взаимодействовать с электромагнитным полем. Обозначим через статическую электрическую (или магнитную) восприимчивость. В статическом электрическом поле в силу нейтральности заряда имеем , где — плотность заряда. Поляризация определяется как и соответствующий вклад в энергию, обусловленный изменением электрического поля -равен если практически постоянно во всей системе. По определению восприимчивости для слабых полей имеем следовательно, при небольшом изменении поля SE изменение энергии взаимодействия равно Применяя аналогичные рассуждения, можно получить вклад в энергию, даваемый магнитным полем. В конечном счете энергия взаимодействия запишется в виде

Попробуем дать релятивистское феноменологическое квантовое обобщение этого результата. Наша цель состоит в том, чтобы записать соответствующую взаимодействию часть лагранжиана таким образом, что после ее интегрирования по трехмерному пространству в статическом поле и в не релятивистском пределе мы получим приведенное выше выражение с обратным знаком. Нейтральную систему можно описать некоторым эрмитовым скалярным полем . Требуемыми свойствами обладает единственный лоренцев скаляр, квадратичный по и который записывается в виде

где связаны с и следующими соотношениями:

Наше стремление получить лагранжиан квадратичный по (а, скажем, не линейный), объясняется тем, что, для того чтобы провести сравнение с нерелятивистским пределом, нам придется вычислять средние значения по одночастичному состоянию. В нерелягивисгском пределе Поскольку выражение, записанное выше, позволяет нам получить асимптотический вид статического потенциала взаимодействия между двумя нейтральными поляризуемыми системами, Повторим вывод, который используется при получении кулоновского потенциала между заряженными системами. Энергия взаимодействия заряда 1 с полем записывается в виде но создается зарядом 2 и дается интегралом . Поскольку ток по предположению не зависит от времени, сначала можно проинтегрировать

по используя выражение

Это дает

откуда получается обычное кулоновское взаимодействие

Вернемся теперь к нашему случаю. Нас, очевидно, интересуют функции Грина квадратичных операторов, таких, например, как (входящих как коэффициенты при ). Если означает величину то функция Грина для будет пропорциональна квадрату данного выражения, т. е. . Типичное выражение для этой обобщенной функции имеет вид Вклад от описывается аналогичным выражением. Следовательно, можно ожидать, что потенциальная энергия пропорциональна величине

Этот результат, впервые полученный Казимиром и Полдером, не согласуется с не релятивисте кой теорией сил Ван-дер-Ваальса, которая дает потенциал, спадающий как больших расстояниях. В гл. 7 мы дадим вывод полного выражения, полученного Файнбергом и Сачером для потенциала на больших расстояниях;

и укажем область его применимости. Там мы объясним, почему это выражение отличается от нерелятивистского закона