3.3.3. Связь между спином и статистикой; пропагатор

Из соотношений (3.161) получаем антикоммутатор двух свободных полей с произвольными аргумен гами. Очевидно, что так же, как и антикоммутируют; в то же время

    (3.169)

здесь — индексы Дирака. Из (2.40) и (2.41) имеем

Отсюда следует, что

    (3.170)

где выражение, которое мы использовали в (3.77) и (3.56) в аналогичном случае для бозонов. Из (3.170) следует, что для пространственно-подобных интервалов антикоммутатор равен нулю. Кроме того, если имеем следующий антикоммутатор:

    (3.171)

который согласуется с (3.162). В смысле антикоммутации оператор выступает как сопряженный к что соответствует лагранжиану (3.152), хотя мы и не следовали процедуре канонического квантования.

Интересно узнать, что мы получили бы в результате такого канонического квантования. Частицы со спином 72 вели бы себя как бозоны, а энергия не была бы ограничена снизу Кроме того, коммутатор двух полей определялся бы выражением, аналогичным (3.169) со знаком минус между двумя членами в правой его часги. Как следствие, результат записывался бы в виде

Этот интеграл является четным решением однородного уравнения Клейна—Гордона:

    (3.172)

которое не обращается в нуль при

Рассмотрите поведение в области больших пространственно-подобных интервалов.

Иными словами, локальные наблюдаемые не коммутировали бы при совпадающих временах, и условие локальности было бы нарушено. Подобные нарушения появились бы и в скалярной теории при квантовании в соответствии со статистикой Ферми Эти свойства служат примером связи между спином и статистикой, вытекающей из локальной релятивистской квантовой теории. Поля с полуцелым спином должны квантоваться в соответствии со статистикой Ферми—Дирака, т. е. на основе соотношений

антикоммутации, а поля с целым спином — в соответствии со статистикой Бозе—Эйнштейна, т. е. с использованием коммутаторов. Более общее доказательство можно провести в рамках аксиоматического подхода. Тот факт, что привлечение данных понятий действительно необходимо для описания этой глубокой связи, существенной для стабильности вещества, в области, отнюдь не релятивистской, является весьма интригующим. Однако нам не известен какой-либо альтернативный подход для такого описания.

Для хронологического произведения двух полей Дирака, определяемого соотношением

    (3.173)

справедливы следующие соотношения:

    (3.174)

которые согласуются с (2.113). Следует заметить, что

    (3.175)

Поскольку функция является четной по х, мы имеем

Используя матрицу С, определяемую выражением (2.97) и удовлетворяющую условию получаем

    (3.176)

Это свойство симметрии является обобщением аналогичного свойства функции . В следующем разделе мы изучим его физический смысл.