§ 8. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом

Электрическое поле можно описать либо с помощью векторной величины Е, либо с помощью скалярной величины . Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Если учесть, что Е пропорционально силе, действующей на заряд, а — потенциальной энергии заряда, легко сообразить, что эта связь должна быть аналогична связи между потенциальной энергией и силой.

Сила F связана с потенциальной энергией соотношением

(см. формулу (22.7) 1-го тома). Для заряженной частицы, находящейся в элекростатическом поле, .

Подставив эти значения в соотношение (8.1), получим, что

Константу q можно вынести за знак градиента. Осуществив это и сократив затем на q, придем к формуле

(8.2)

устанавливающей связь между напряженностью поля и потенциалом.

Приняв во внимание определение градиента (см. формулу (22.6) 1-го тома), можно написать, что

Следовательно, в проекциях на координатные оси соотношение (8.2) имеет вид

Аналогично проекция вектора Е на произвольное направление I равна взятой с обратным знаком производной по , т. е. скорости убывания потенциала при перемещении вдоль направления :

В справедливости формулы (8.5) легко убедиться, выбрав направление в качестве одной из координатных осей и приняв во внимание соотношения (8.4).

Поясним соотношение (8.2) на примере поля точечного заряда. Потенциал этого поля выражается формулой (6.7). Перейдя к декартовым координатам, получим выражение:

Частная производная этой функции по х равна

Аналогично

Подставив найденные значения производных в формулу (8.3), придем к выражению

которое совпадает с (5.3).

Формула (8.2) позволяет по известным значениям найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т. е. по заданным значениям Е в каждой точке найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Для этого воспользуемся тем, что работа, совершаемая силами поля над зарядом q при перемещении его из точки 1 в точку 2, может быть вычислена как

Вместе с тем в соответствии с (6.10) та же работа может быть представлена в виде

Приравняв друг другу эти два выражения и сократив на q, придем к соотношению

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру и формула (8.6) переходит в соотношение

(кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутому пути). Заметим, что это соотношение справедливо только для электростатического поля. Впоследствии мы выясним, что поле движущихся зарядов (т. е. поле, изменяющееся со временем) не является потенциальным; следовательно, условие (8.7) для него не выполняется.

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Ее уравнение имеет вид

При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок потенциал не изменяется Следовательно, согласно формуле (8.5) касательная к поверхности составляющая вектора Е равна нулю. Отсюда заключаем, что вектор Е в каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку. Приняв во внимание, что вектор Е направлен по касательной к линии Е, легко сообразить, что линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальную поверхность можно провести через любук точку поля. Следовательно, таких поверхностей может быть по строено бесконечное множество. Условливаются проводить поверх ности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседни: поверхностей была всюду одна и та же. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о величине напряжен ности поля. Действительно, чел гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности. Следовательно, тем больше i данном месте у а значит и Е.

На рис. 8.1 показаны эквипотенциальные поверхности (точнее их пересечения с плоскостью чер тежа) для поля точечного заряда В соответствии с характером зави симости Е от эквипотенциальньн поверхности при приближении i заряду становятся гуще.

Рис. 8.1.

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности пред ставляют собой систему равноотстоящих друг от друга плоскостей перпендикулярных к направлению поля.