§ 116. Центрированная оптическая система

Совокупность лучей образует пучок. Если лучи при своем продолжении пересекаются в одной точке, пучок называется гомоцентрическим. Гомоцентрическому пучку лучей соответствует сферическая волновая поверхность. На рис. 116.1, а показан сходящийся, а на рис. 116.1,б — расходящийся гомоцентрический пучок.

Частным случаем гомоцентрического пучка является пучок параллельных лучей; ему соответствует плоская световая волна.

Всякая оптическая система осуществляет преобразование световых пучков. Если система не нарушает гомоцентричности пучков, то лучи, вышедшие из точки Р, пересекутся в одной точке Р. Эта точка представляет собой оптическое изображение точки Р. Если любая точка предмета изображается в виде точки, изображение называется точечным или стигматическим.

Изображение называется действительным, если световые лучи в точке Р действительно пересекаются (см. рис. 116.1, а), и мнимым, если в Р пересекаются продолжения лучей, проведенные в направлении, обратном направлению распространения света (см. рис. 116.1, б).

Рис. 116.1.

Вследствие обратимости световых лучей источник света Р и изображение Р могут поменяться ролями — точечный источник, помещенный в Р, будет иметь свое изображение в Р. По этой причине Р и Р называются сопряженными точками.

Оптическая система, которая дает стигматическое изображение, геометрически подобное отображаемому предмету, называется идеальной. С помощью такой системы пространственная непрерывность точек Р отображается в виде пространственной непрерывности точек Р. Первая непрерывность точек называется пространством предметов, вторая — пространством изображений. В обоих пространствах точки, прямые и плоскости однозначно соответствуют друг другу. Такое соотношение двух пространств называется в геометрии коллинеарным соответствием.

Оптическая система представляет собой совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга оптически однородные среды. Обычно эти поверхности бывают сферическими или плоскими (плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса). Реже применяются более сложные поверхности (эллипсоид, гиперболоид, параболоид вращения и др.).

Оптическая система, образованная сферическими (в частности, плоскими) поверхностями, называется центри рова иной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой. Эту прямую называют оптической осью системы.

Каждой точке Р или плоскости S в пространстве предметов соответствует сопряженная с ней точка Р или плоскость S в пространстве изображений. Среди бесконечного множества сопряженных точек и сопряженных плоскостей имеются точки и плоскости, обладающие особыми свойствами.

Такие точки и плоскости называются кардинальными. К их числу относятся фокальные, главные и узловые точки и плоскости. Задание кардинальных точек или плоскостей полностью определяет свойства идеальной центрированной оптической системы.

Фокальные плоскости и фокусы оптической системы. На рис. 116.2 показаны внешние преломляющие, поверхности и оптическая ось некоторой идеальной центрированной оптической системы. Возьмем в пространстве предметов этой системы плоскость S, перпендикулярную к оптической оси. Из соображений симметрии следует, что сопряженная с S плоскость S также перпендикулярна к оптической оси. Перемещение плоскости S относительно системы вызовет соответствующее перемещение плоскости S. Когда плоскость S окажется очень далеко, дальнейшее увеличение ее расстояния от системы практически не вызывает изменения положения плоскости S. Это означает, что в результате удаления плоскости S на бесконечность плоскость S оказывается в определенном предельном положении F. Плоскость F, совпадающая с предельным положением плоскости S, называется задней фокальной плоскостью оптической системы. Кратко можно сказать, что задней фокальной плоскостью F называется плоскость, сопряженная с находящейся на бесконечности в пространстве предметов плоскостью , перпендикулярной к оси системы.

Рис. 116.2.

Точка пересечения задней фокальной плоскости с оптической осью называется задним фокусом системы. Обозначают ее также буквой F. Эта точка сопряжена с удаленной на бесконечность точкой лежащей на оси системы. Лучи, выходящие из образуют параллельный оси пучок (см. рис. 116.2). По выходе из системы эти лучи образуют пучок, сходящийся в фокусе F. Упавший на систему параллельный пучок может выйти из системы не в виде сходящегося (как на рис. 116.2), а в виде расходящегося пучка. Тогда в точке F будут пересекаться не сами вышедшие лучи, а их продолжения в обратном направлении. Соответственно задняя фокальная плоскость окажется перед (по ходу лучей) системой или внутри системы.

Лучи, вышедшие из бесконечно удаленной точки не лежащей на оси системы, образуют параллельный пучок, направленный под углом к оси системы. По выходе из системы эти лучи образуют пучок, сходящийся в точке Q, принадлежащей задней фокальной плоскости, но не совпадающей с фокусом F (см. точку Q на рис. 116.2).

Из сказанного следует, что изображение бесконечно удаленного предмета будет лежать в фокальной плоскости.

Если удалить на бесконечность перпендикулярную к оси плоскость S (рис. 116.3), сопряженная с ней плоскость S придет в предельное положение F, которое называется передней фокальной плоскостью системы. Кратко можно сказать, что передней фокальной плоскостью F является плоскость, сопряженная с находящейся на бесконечности в пространстве изображений плоскостью перпендикулярной к оси системы.

Точка пересечения передней фокальной плоскости F с оптической осью называется передним фокусом системы. Обозначают этот фокус также буквой F. Лучи, вышедшие из фокуса F, образуют после выхода из системы пучок параллельных оси лучей. Лучи, вышедшие из точки Q, принадлежащей фокальной плоскости F (см. рис. 116.3), образуют после прохождения через систему параллельный пучок, направленный под углом к оси системы. Может случиться, что параллельный по выходе из системы пучок получается при падении на систему не расходящегося (как на рис. 116.3), а сходящегося пучка лучей. В этом случае передний фокус оказывается за системой или внутри системы.

Главные плоскости и точки. Рассмотрим две сопряженные плоскости, перпендикулярные к оптической оси системы. Отрезок прямой у (рис. 116.4) лежащий в одной из этих плоскостей, будет иметь своим изображением отрезок прямой у, лежащий в другой плоскости.

Рис. 116.3.

Рис. 116.4.

Из осевой симметрии системы вытекает, что отрезки должны лежать в одной, проходящей через оптическую ось, плоскости (в плоскости рисунка). При этом изображение может быть обращено либо в ту же сторону, что и предмет у (см. рис. 116.4,а), либо в противоположную сторону (см. рис. 116.4, б). В первом случае изображение называется прямым, во втором — обратным. Отрезки, откладываемые от оптической оси вверх, принято считать положительными, откладываемые вниз — отрицательными.

На рисунках указываются действительные длины отрезков, т. е. для отрицательных отрезков — положительные величины

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным или поперечным увеличением. Обозначив его буквой р, можно написать

(116.1)

Линейное увеличение — алгебраическая величина. Оно положительно, если изображение прямое (знаки у и у одинаковы), и отрицательно, если изображение обратное (знак у противоположен знаку у).

Можно доказать, что существуют две такие сопряженные плоскости, которые отображают друг друга с линейным увеличением Эти плоскости называются главными. Плоскость, принадлежащая пространству предметов, именуется передней главной плоскостью системы. Ее обозначают буквой Н. Плоскость, принадлежащую пространству изображений, именуют задней главной плоскостью. Ее обозначают символом Н. Точки пересечения главных плоскостей с оптической осью называются главными точками системы (соответственно передней и задней). Их обозначают теми же символами Н и Н. В зависимости от устройства системы главные плоскости и точки могут находиться как вне, так и внутри системы. Может случиться, что одна из плоскостей проходит вне, а другая — внутри системы. Возможно, наконец, что обе плоскости будут лежать вне системы по одну и ту же сторону от нее.

Рис. 116.5.

Из определения главных плоскостей вытекает, что луч 1, пересекающий (в действительности — рис. 116.5, а или при воображаемом продолжении внутри системы — рис. 116.5, б) переднюю главную плоскость Н в точке Q, имеет в качестве сопряженного луч который пересекает (непосредственно или при воображаемом продолжении) главную плоскость Н в точке Q, отстоящей в ту же сторону и на такое же расстояние от оси, как и точка Q.

Это легко понять, если вспомнить, что Q и Q являются сопряженными точками, и учесть, что любой луч, проходящий через точку Q, должен иметь в качестве сопряженного луч, проходящий через точку

Узловые плоскости и точки. Узловыми точками или узлами называются лежащие на оптической оси сопряженные точки N и N, обладающие тем свойством, что проходящие через них (в действительности или при воображаемом продолжении внутрь системы) сопряженные лучи параллельны между собой (см. лучи 1—1 и 2—2 на рис. 116.6). Перпендикулярные к оси плоскости, проходящие через узлы, называются узловыми плоскостям и (передней и задней).

Расстояние между узлами всегда равно расстоянию между главными точками. В случае, когда оптические свойства сред, находящихся по обе стороны системы, одинаковы (т. е. ), узлы совпадают с главными точками.

Фокусные расстояния и оптическая сила системы. Расстояние от передней главной точки Н до переднего фокуса F называется передним фокусным расстоянием f системы. Расстояние от Н до F именуется задним фокусным расстоянием Фокусные расстояния — алгебраические величины. Они положительны, если данный фокус лежит справа от соответствующей главной точки, и отрицательны в противном случае. Например, для системы, изображенной на рис. 116.7 (см. ниже), заднее фокусное расстояние положительно, а переднее фокусное расстояние f отрицательно. На рисунке указана истинная длина отрезка , т. е. положительная величина равная модулю

Можно доказать, что между фокусными расстояниями центрированной оптической системы, образованной сферическими преломляющими поверхностями, имеется соотношение

где — показатель преломления среды, находящейся перед оптической системой, — показатель преломления среды, находящейся за системой. Из (116.2) вытекает, что в случае, когда показатели преломления сред, находящихся по обе стороны оптической системы, одинаковы, фокусные расстояния отличаются только знаком:

(116.3)

Рис. 116.6.

Величина

называется оптической силой системы. Чем больше Ф, тем меньше фокусное расстояние и, следовательно, тем сильнее преломляются лучи оптической системой. Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). Чтобы получить Ф в диоптриях, фокусное расстояние в формуле (116.4) нужно взять в метрах. При положительной Ф заднее фокусное расстояние f также положительно; следовательно, система дает действительное изображение бесконечно удаленной точки — параллельный пучок лучей превращается в сходящийся. В этом случае система называется собирающей. При отрицательной Ф изображение бесконечно удаленной точки будет мнимым — параллельный пучок лучей превращается системой в расходящийся. Такая система именуется рассеивающей.

Формула системы. Задание кардинальных плоскостей или точек полностью определяет свойства оптической системы. В частности, зная положение кардинальных плоскостей, можно построить оптическое изображение, даваемое системой. Возьмем в пространстве предметов отрезок ОР, перпендикулярный к оптической оси (рис. 116.7; узлы на рисунке не показаны). Положение этого отрезка можно задать либо расстоянием отсчитанным от точки до точки О, либо расстоянием s от Н до О.

Рис. 116.7.

Величины х и s, как и фокусные расстояния f и являются алгебраическими (на рисунках указываются их модули).

Проведем из точки Р луч параллельный оптической оси. Он пересечет плоскость Н в точке А. В соответствии со свойствами главных плоскостей сопряженный лучу 1 луч Г должен проходить через сопряженную с точкой А точку А плоскости Н. Так как луч 1 параллелен оптической оси, сопряженный с ним луч пройдет через задний фокус F. Теперь проведем из точки Р луч 2, проходящий через передний фокус F. Он пересечет плоскость Н в точке В.

Сопряженный с ним луч 2 пройдет через сопряженную с В точку В плоскости И и будет параллельным оптической оси. Точка Р пересечения лучей и 2 представляет собой изображение точки Р. Изображение ОР, как и отрезок ОР, перпендикулярно к оптической оси.

Положение изображения ОР можно охарактеризовать либо расстоянием х от точки F до точки О, либо расстоянием s от Н до О. Величины х и s являются алгебраическими. В случае, изображенном на рис. 116.7, они положительны.

Величина определяющая положение изображения, закономерно связана с величиной х, определяющей положение предмета, и с фокусными расстояниями f и f. Для прямоугольных треугольников с общей вершиной в точке F (см. рис. 116.7) можно написать соотношение

Аналогично, для треугольников с общей вершиной в точке F имеем

(116.6)

Объединив оба соотношения, получим, что откуда

(116.7)

Это равенство называется формулой Ньютона. При условии, что формула Ньютона имеет вид

(116.8)

(см. (116.2)).

От формулы, связывающей расстояния предмета и изображения от фокусов системы, легко перейти к формуле, устанавливающей связь между расстояниями s и s от главных точек. Из рис. 116.7 видно, что Подставив эти выражения для в формулу (116.7) и произведя преобразования, получим

(116.9)

При выполнении условия (см. (116.3)) формула (116.9) упрощается следующим образом:

Соотношения (116.7)—(116.10) представляют собой формулы центрированной оптической системы.