§ 131. Дифракция рентгеновских лучей

Поставим две дифракционные решетки одну за другой так, чтобы их штрихи были взаимно перпендикулярными. Первая шетка (штрихи которой, скажем, вертикальны) даст в горизонтальном направлении ряд максимумов, положения которых определяются условием

(131.1)

Вторая решетка (с горизонтальными штрихами) разобьет каждый из образовавшихся таким образом пучков на расположенные по вертикали максимумы, положения которых определяются условием

(131.2)

В итоге дифракционная картина будет иметь вид правильно расположенных пятен, каждому из которых соответствуют два целочисленных индекса (рис. 131.1).

Такая же дифракционная картина получается, если вместо двух раздельных решеток взять одну прозрачную пластинку с нанесенными на нее двумя системами взаимно перпендикулярных штрихов. Подобная пластинка представляет собой двумерную периодическую структуру (обычная решетка — одномерную структуру). Измерив углы определяющие положения максимумов, и зная длину волны К, можно найти по формулам (131.1) и (131.2) периоды структуры Если направления, в которых структура периодична (например, направления, перпендикулярные к штрихам решеток), образуют угол а, отличный от дифракционные максимумы расположатся не в вершинах прямоугольников (как на рис. 131.1), а в вершинах параллелограммов. В этом случае по дифракционной картине можно определить не только периоды но и угол а.

Дифракционную картину, аналогичную изображенной на рис. 131.1, дают любые двумерные периодические структуры, например система небольших отверстий или система непрозрачных маленьких шариков.

Для возникновения дифракционных максимумов необходимо, чтобы период структуры d был больше К. В противном случае условия (131.1) и (131.2) могут быть удовлетворены только при значениях равных нулю (модуль не может превышать единицу).

Рис. 131.1.

Рис. 131.2.

Дифракция наблюдается также на трехмерных структурах, т. е. пространственных образованиях, обнаруживающих периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. Подобными структурами являются все кристаллические тела. Однако их период слишком мал для того, чтобы можно было наблюдать дифракцию в видимом свете. В случае кристаллов условие выполняется только для рентгеновских лучей. Впервые дифракция рентгеновских лучей от кристаллов наблюдалась в 1913 г. в опыте Лауэ, Фридриха и Книппинга (Лауэ принадлежит идея, остальным авторам — практическое осуществление опыта).

Найдем условия образования дифракционных максимумов от трехмерной структуры. Проведем в направлениях, по которым свойства структуры обнаруживают периодичность, координатные оси х, у и z (рис. 131.2). Структуру можно представить как совокупность равноотстоящих параллельных линейных цепочек из структурных элементов, расположенных вдоль одной из координатных осей. Рассмотрим действие отдельной линейной цепочки, параллельной, например, оси х (рис. 131.3). Пусть на нее падает пучок параллельных лучей, образующих с осью х угол Каждый структурный элемент является источником вторичных волн. К соседним источникам падающая волна приходит с разностью фаз где — период структуры вдоль оси Кроме того, между вторичными волнами, распространяющимися в направлениях, образующих с осью х угол а (все такие направления лежат вдоль образующих конуса, осью которого служит ось х), возникает дополнительная разность хода . Колебания от различных структурных элементов будут взаимно усиливаться для тех направлений, для которых

(131.3)

Каждому значению соответствует свой конус направлений, вдоль которых получаются максимумы интенсивности от одной отдельно взятой цепочки, параллельной оси х. Ось этого конуса совпадает с осью х.

Условие максимума для цепочки, параллельной оси у, имеет вид

(131.4)

где — период структуры в направлении оси у, — угол между падающим пучком и осью у, — угол, образуемый с осью у направлениями, вдоль которых получаются дифракционные максимумы. Каждому значению соответствует конус направлений, ось которого совпадает с осью у.

В направлениях, удовлетворяющих одновременно условиям (131.3) а (131.4), происходит взаимное усиление колебаний от источников, лежащих в одной и той же плоскости, перпендикулярной к оси z (эти источники образуют двумерную структуру). Направления возникающих максимумов интенсивности лежат вдоль линий пересечения конусов направлений, один из которых определяется условием (131.3), второй — условием (131.4).

Рис. 131.3.

Наконец, для цепочки, параллельной оси , направления макси мумов определяются условием

(131.5)

где — период структуры в направлении оси угол между падающим пучком и осью z, у — угол образуемый с осью z направлениями, вдоль которых получаются дифракционные максимумы Как и в предыдущих случаях, каждому значению соответствует конус направлений, осью которого является ось .

В направлениях, удовлетворяющих одновременно условиям (131.3), (131.4) и (131.5), происходит взаимное усиление колебаний от всех элементов, образующих пространственную структуру. В результате возникают дифракционные максимумы от пространственной структуры. Направления этих максимумов лежат на линиях пересечения трех конусов, оси которых параллельны координатным осям.

Найденные нами условия

носят название формул Лауэ. Каждому определяемому этими формулами направлению соответствуют три целочисленных индекса Наибольшее значение модуля разности косинусов равно 2. Поэтому условия (131.6) могут быть выполнены при отличных от нуля значениях индексов лишь в том случае, если к не превышает

Углы не являются независимыми. Например, в случае прямоугольной системы координат они связаны соотношением

(131.7)

Таким образом, при заданных и углы , определяющие направления максимумов, могут быть найдены путем решения системы из четырех уравнений. Если число уравнений превышает число неизвестных, система уравнений оказывается разрешимой только при выполнении определенных условий (только при соблюдении этих условий три конуса могут пересечься друг с другом по одной линии).

Система уравнений (131.6) и (131.7) оказывается разрешимой лишь для некоторых, вполне определенных длин волн можно рассматривать как четвертое неизвестное, значения которого, получающиеся из решения системы, и дают те длины волн, для которых наблюдаются максимумы). Каждому такому значению к соответствует, вообще говоря, только один максимум. Однако может получиться и несколько симметрично расположенных максимумов.

Если длина волны является фиксированной (монохроматическое излучение), систему уравнений можно сделать совместной, варьируя значения т. е. поворачивая пространственную структуру относительно направления падающего пучка.

Мы не касались вопроса о том, каким образом лучи, идущие от различных структурных элементов, сводятся в одну точку экрана. В случае видимого света это достигается с помощью линзы. Для рентгеновских лучей осуществить линзу нельзя, так как показатель преломления этих лучей во всех веществах практически равен единице. Поэтому интерференция вторичных волн достигается путем использования весьма узких пучков лучей, которые и без линзы дают на экране (или фотопластинке) пятна очень малых размеров.

Русский ученый Ю. В. Вульф и английские физики У. Г. и У. Л. Брэгги показали независимо друг от друга, что расчет дифракционной картины от кристаллической решетки можно осуществить следующим простым способом. Проведем через узлы кристаллической решетки параллельные равноотстоящие плоскости (рис. 131.4), которые мы будем называть атомными слоями. Если падающая на кристалл волна плоская, огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в таком слое, также будет представлять собой плоскость. Таким образом, суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отразившейся от усеянной атомами поверхности по обычному закону отражения.

Плоские вторичные волны, отразившиеся от разных атомных слоев, когерентны и будут интерферировать между собой подобно волнам, посылаемым в данном направлении различными щелями дифракционной решетки. При этом, как и в случае решетки, вторичные волны будут практически погашать друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода между соседними волнами является кратной К. Из рис. 131.4 видно, что разность хода двух волн, отразившихся от соседних атомных слоев, равна где d — период идентичности кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым слоям, Ф — угол, дополнительный к углу падения и называемый углом скольжения падающих лучей. Следовательно, направления, в которых получаются дифракционные максимумы, определяются условием

(131.8)

Это соотношение называется формулой Брэгга — Вульфа.

Атомные слои в кристалле можно провести множеством способов (рис. 131.5). Каждая система слоев может дать дифракционный максимум, если для нее окажется выполненным условие (131.8).

Однако заметную интенсивность имеют лишь те максимумы, которые получаются за счет отражений от слоев, достаточно густо усеянных атомами (например, от слоев на рис. 131.5).

Заметим, что расчет по формуле Брэгга — Вульфа и расчет по формулам Лауэ (см. (131.6)) приводят к совпадающим результатам.

Дифракция рентгеновских лучей от кристаллов находит два основных применения.

Рис. 131.4.

Рис. 131.5.

Рис. 131.6.

Она используется для исследования спектрального состава рентгеновского излучения (рентгеновская спектроскопия) и для изучения структуры кристаллов (рентгеноструктурный анализ).

Определяя направления максимумов, получающихся при дифракции исследуемого рентгеновского излучения от кристаллов с известной структурой, можно вычислить длины волк. Первоначально для определения длин волн были использованы кристаллы кубической системы, причем межплоскостные расстояния определялись из плотности и относительной молекулярной массы кристалла.

В методе структурного анализа, предложенном Лауэ, пучок рентгеновского излучения направляется на. неподвижный монокристалл. Для каждой системы слоев, достаточно густо усеянных атомами, находится в излучении длина волны, при которой выполняется условие (131,8). Поэтому на помещенной за кристаллом фотопластинке получается (после проявления) совокупность черных пятнышек. Взаимное расположение пятнышек отражает симметрию кристалла. По расстояниям между пятнышками и по их интенсивности удается найти размещение атомов в кристалле и расстояния между ними.

На рис. 131.6 приведена лауэграмма берилла (минерала из группы силикатов).

В методе структурного анализа, разработанном Дебаем и Шерером, используются монохроматическое рентгеновское излучение и поликристаллические образцы. Исследуемое вещество измельчается в порошок, из которого прессуется образец в виде проволочки. Образец устанавливается по оси цилиндрической камеры, на боковую поверхность которой укладывается фотопленка (рис. 131.7).

Рис. 131.7.

В огромном количестве беспорядочно ориентированных кристалликов найдется множество таких, для которых окажется выполненным условие (131.8), причем дифрагированный луч будет для разных кристалликов лежать во всевозможных плоскостях. В результате для каждой системы атомных слоев и каждого получится не одно направление максимума, а конус направлений, ось которого совпадает с направлением падающего пучка (см. рис. 131.7).

Рис. 131.8.

Получающаяся на пленке картина (дебаеграмма) имеет вид, показанный на рис. 131.8. Каждая пара симметрично расположенных линий соответствует одному из дифракционных максимумов, удовлетворяющих условию (131.8) при некотором значении т. Расшифровка рентгенограммы позволяет определить структуру кристалла.