§ 90. Свободные затухающие колебания

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. Уравнение (89.2), написанное для цепи 1—3—2, изображенной на рис. 90.1, имеет вид

(ср. с (89.3)). Разделив это уравнение на L и заменив через через q, получим

Рис. 90.1.

Приняв во внимание, что величина, обратная LC, равна квадрату собственной частоты контура (см. формулу (89.5)), и введя обозначение

уравнению (90.2) можно придать вид

Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний (см. формулу (58.1) 1-го тома).

При условии, что решение уравнения (90.4) имеет вид

где

Подставив значение (89.5) для и (90.3) для , найдем, что

Таким образом, частота затухающих колебаний о) меньше собственной частоты . При выражение (90.6) переходит в (89.5).

Разделив функцию (90.5) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе:

Чтобы найти силу тока, продифференцируем (90.5) по времени:

Умножив правую часть этой формулы на равное единице выражение получим

Введя угол определяемый условиями

можно написать

Поскольку , значение заключено в пределах от до Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на опережение составляет

График функции (90.5) изображен на рис. 90.2. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

(см. формулу (58.9) 1-го тома). Здесь — амплитуда соответствующей величины или Напомним, что логарифмический декремент затухания обратен числу колебаний совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в раз:

Подставив в (90.9) значение (90.3) для и заменив Т через получим для К следующее выражение:

Частота , а следовательно, и А, определяются параметрами контура L, С и Таким образом, логарифмический декремент затухания является характеристикой контура.

Если затухание невелико (), можно положить в (90.10) . Тогда

Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Q, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:

(90.12)

Рис. 90.2.

Из (90.12) следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в раз.

В случае слабого затухания

(90-13)

(см. 90.11)).

В § 58 1-го тома было показано, что при слабом затухании добротность механической колебательной системы с точностью до множителя равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний. Покажем, что это справедливо и для электрических колебаний. Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока (или квадрату амплитуды, напряжения на конденсаторе); следовательно, W убывает по закону Относительное уменьшение энергии за период равно

При незначительном затухании (т. е. при условии, что можно приближенно положить равным

Наконец, заменив в этом выражении к через добротность контура Q в соответствии с формулой (90.12) и решив полученное уравнение относительно Q, получим

(90.14)

В заключение отметим, что при , т. е. при вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления определяется условием , откуда

(90.15)