§ 96. Волновое уравнение

Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (95.6), описывающей плоскую волну.

Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

Сложение производных по координатам дает

Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив через (см. (94.7)), получим уравнение

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

где А — оператор Лапласа (см. формулу (11.37)).

Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет не только функция (95.6), но и любая функция вида

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (96.4), через S, имеем

Аналогично

Подстановка выражений (96.5) и (96.6) в уравнение (96.2) приводит к выводу, что функция (96.4) удовлетворяет волновому уравнению, если положить .

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (96.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при дает фазовую скорость этой волны.

Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид